Determine a intersecção da qrádrica \frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1 com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
z=1

Passo 1

O enunciado pede a curva de intersecção entre a quádrica
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1
e o plano z=1. Vamos usar simplesmente substituição de z na equação da quádrica.

Passo 2

Substituindo z=1 em
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1
obtemos
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+1=1.

Passo 3

Simplificando a igualdade
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=0.

Passo 4

Reescrevendo
\frac{x^{2}}{4}=y^{2}
vemos que
y=\pm\frac{x}{2}.

Passo 5

Portanto a intersecção é dada pelas duas retas no plano z=1:
y=\frac{x}{2},\;z=1 \quad\text{e}\quad y=-\frac{x}{2},\;z=1.
No esboço, em coordenadas (x,y) no nível z=1, são duas retas que se cruzam na origem (0,0,1) com inclinações \pm\frac12.

Resposta

A intersecção é o par de retas
y=\pm\frac{x}{2},\quad z=1.

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