Exercício 8: Apresente uma interpretação geométrica para o Teorema de Fubini.
Passo 1
O enunciado pede uma interpretação geométrica do Teorema de Fubini para integrais duplas. O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas e a ideia-chave é compreender como o valor da integral dupla
corresponde a um volume sob a superfície
sobre a região
e como esse volume pode ser obtido por somas de fatias.
Passo 2
O Teorema de Fubini afirma que, se
é contínua (ou integrável absolutamente) em um retângulo
, então
Essa igualdade diz que podemos integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa, sem alterar o resultado.
Passo 3
Interpretação por fatias verticais (
fixo):
Para cada valor , consideramos a “fatia” do sólido obtida ao intersectar o plano vertical
com o corpo abaixo de
. Nessa fatia, o eixo
vai de
a
e a altura é
. Assim, a área dessa seção transversal é
Para cada valor
Somando (integrando) essas áreas para
de
até
obtemos o volume total:
Passo 4
Interpretação por fatias horizontais (
fixo):
Analogamente, para cada , cortamos o sólido com o plano
. A seção transversal tem área
Analogamente, para cada
e o volume total é
Fubini garante que essas duas somas de fatias—verticais e horizontais—são iguais.
Passo 5
Geometricamente, o Teorema de Fubini diz que o volume sob a superfície
e acima do retângulo
pode ser obtido somando volumes de fatias paralelas a um eixo ou somando fatias paralelas ao outro eixo. Seja qual for a direção de fatia, o resultado final (o volume) é o mesmo.
Resposta
O volume sob
sobre
pode ser calculado somando as áreas de fatias verticais (integração em
seguida de
) ou horizontais (integração em
seguida de
); o Teorema de Fubini garante que ambas as somas dão exatamente o mesmo volume.