Exercício 8: Apresente uma interpretação geométrica para o Teorema de Fubini.

Passo 1

O enunciado pede uma interpretação geométrica do Teorema de Fubini para integrais duplas. O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas e a ideia-chave é compreender como o valor da integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dA
corresponde a um volume sob a superfície z=f(x,y) sobre a região R\subset\mathbb{R}^2 e como esse volume pode ser obtido por somas de fatias.

Passo 2

O Teorema de Fubini afirma que, se f é contínua (ou integrável absoluta­mente) em um retângulo R = [a,b]\times[c,d], então
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{a}^{b}\Bigl(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx =\int_{c}^{d}\Bigl(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.
Essa igualdade diz que podemos integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa, sem alterar o resultado.

Passo 3

Interpretação por fatias verticais ( x fixo):
Para cada valor x\in[a,b], consideramos a “fatia” do sólido obtida ao intersectar o plano vertical x=\text{constante} com o corpo abaixo de z=f(x,y). Nessa fatia, o eixo y vai de c a d e a altura é f(x,y). Assim, a área dessa seção transversal é
A(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy.
Somando (integrando) essas áreas para x de a até b obtemos o volume total:
\int_{a}^{b}A(x)\,dx =\int_{a}^{b}\Bigl(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 4

Interpretação por fatias horizontais ( y fixo):
Analogamente, para cada y\in[c,d], cortamos o sólido com o plano y=\text{constante}. A seção transversal tem área
B(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx
e o volume total é
\int_{c}^{d}B(y)\,dy =\int_{c}^{d}\Bigl(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.
Fubini garante que essas duas somas de fatias—verticais e horizontais—são iguais.

Passo 5

Geometricamente, o Teorema de Fubini diz que o volume sob a superfície z=f(x,y) e acima do retângulo R pode ser obtido somando volumes de fatias paralelas a um eixo ou somando fatias paralelas ao outro eixo. Seja qual for a direção de fatia, o resultado final (o volume) é o mesmo.

Resposta

O volume sob z=f(x,y) sobre R=[a,b]\times[c,d] pode ser calculado somando as áreas de fatias verticais (integração em y seguida de x) ou horizontais (integração em x seguida de y); o Teorema de Fubini garante que ambas as somas dão exatamente o mesmo volume.

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