Determine a intersecção da qrádrica z=5 x^{2}+y^{2} com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
y=1

Passo 1

O enunciado pede a curva de intersecção entre a quádrica
z = 5x^2 + y^2
e o plano
y = 1.
O conteúdo aqui é intersecção de superfícies, que consiste em substituir a condição do plano na equação da quádrica.

Passo 2

Substituindo y=1 na equação do paraboloide obtemos
z = 5x^2 + (1)^2 = 5x^2 + 1.
Portanto, toda a curva de intersecção satisfaz
y = 1, \quad z = 5x^2 + 1.

Passo 3

A equação
z = 5x^2 + 1
no plano y=1 é uma parábola de vértice em (0,1,1) que se abre para valores crescentes de z, simétrica em relação à reta x=0 dentro desse plano.

Passo 4

Uma parametrização natural dessa parábola é
\mathbf{r}(t) = \bigl(t,\;1,\;5t^2+1\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para esboçar, imagine o plano y=1 paralelo ao plano xz. Dentro dele, trace uma parábola cujo vértice está em (0,1,1) e que, para x positivos ou negativos, sobe segundo z=5x^2+1. A concavidade é para cima e a abertura depende do coeficiente 5.

Resposta

A curva de intersecção é a parábola
\{(x,1,5x^2+1)\mid x\in\mathbb{R}\},
ou, parametricamente,
\mathbf{r}(t) = (t,1,5t^2+1),\quad t\in\mathbb{R}.

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