Questão 03: (3,0) Caixas de tomate

Um empregado de uma fazenda deseja produzir caixas de madeira de base necessariamente quadrada e sem tampa para transportar 6,75 kg de tomate cada caixa. Considere que cada meio quilo de tomate, quando agrupado em uma caixa, ocupa um espaço de 1000 cm^3. Determine as dimensões, em centímetros, que a caixa deve ter para minimizar o gasto de madeira para produzir a caixa.

Passo 1

O enunciado pede para projetar uma caixa sem tampa de base quadrada, de modo que caiba 6,75 kg de tomate e que o gasto de madeira (área da superfície) seja mínimo. O conteúdo da matéria é otimização de funções sujeitas a uma restrição de volume.

Passo 2

Cada meio quilo de tomate ocupa 1000 cm^3. Como queremos acomodar 6,75 kg, o volume total interno da caixa é
V = 6,750,5times 1000 = 13,5times 1000 = 13500 cm^3
Sejam x a aresta da base quadrada e h a altura da caixa. Então a restrição de volume é
x^2,h = 13500

Passo 3

A área de madeira necessária, considerando a base e as quatro faces laterais (sem tampa), é
S = underbracex^2base + underbrace4,x,hlaterais
Usando a restrição h = 13500/x^2, obtemos
S(x) = x^2 + 4,xcdot 13500x^2 = x^2 + 54000x

Passo 4

Para minimizar S(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(x) = 2x - 54000x^2, S'(x)=0 implies 2x = 54000x^2 implies x^3 = 27000 implies x = 30 cm
Verificando a segunda derivada,
S''(x) = 2 + 108000x^3>0,
logo é mínimo.

Passo 5

Encontramos a altura usando a restrição:
h = 13500x^2 = 1350030^2 = 13500900 = 15 cm

Resposta

A caixa deve ter base quadrada de 30 cmtimes 30 cm e altura de 15 cm.

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