A altura de um triângulo está diminuindo a uma taxa de 2 cm / min enquanto a área do triângulo está aumentando a uma taxa de 1 cm^2 / min.
Sejam
t : o instante de tempo (em min)
b : a base do triângulo ( em cm ) no instante t
h : a altura do triângulo ( em cm ) no instante t
A : a área do triângulo ( em cm^2 ) no instante t
Encontre uma relação entre as variáveis A, b, h e determine a que taxa a base do triângulo está variando quando a altura for 10 cm e a área for 100 cm^2.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo cuja área A varia no tempo junto com a base b e a altura h. Sabemos que
dhdt=-2 cm/min
e
dAdt=1 cm^2/min.
O conteúdo é de related rates (taxas relacionadas): vamos usar a fórmula da área do triângulo e derivar em relação a t para achar dbdt.

Passo 2

A fórmula clássica da área de um triângulo é
A = b,h2

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a t, usando regra do produto, obtemos
dAdt = 12l(bdhdt + hdbdtr)
Isolando dbdt:
hdbdt = 2dAdt - bdhdt Longrightarrow dbdt = 2,dAdt ;-; b,dhdth

Passo 4

No instante em que h=10 cm e A=100 cm^2, encontramos b pela relação da área:
100 = bcdot102 Longrightarrow b = 2cdot10010 = 20 cm

Passo 5

Substituindo h=10, b=20, dAdt=1 e dhdt=-2 na fórmula de dbdt:
dbdt = 2cdot1 ;-;20cdot(-2)10 = 2 + 4010 = 4210 = 215 cm/min

Resposta

dbdt = 215 cm/minapprox 4,2 cm/min

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