Exercício 48. Seja y=f(x) uma função diferenciável tal que x^{3} f^{2}(x)+\cos (\sqrt{f(x)})=x. Determine f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado define uma função y=f(x) diferenciável que satisfaz implicitamente
x^{3}f^{2}(x)+\cos\bigl(\sqrt{f(x)}\bigr)=x.
Queremos encontrar f'(x). Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto em x^{3}f^{2}(x) e a regra da cadeia em \cos(\sqrt{f(x)}).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos:
  1. Para x^{3}f^{2}(x), usando produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}f^{2}(x)\bigr) =3x^{2}f^{2}(x)+x^{3}\cdot 2f(x)\,f'(x).
  1. Para \cos(\sqrt{f(x)}), usando cadeia duas vezes:
\frac{d}{dx}\cos\bigl(\sqrt{f(x)}\bigr) =-\sin\bigl(\sqrt{f(x)}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{f(x)}\bigr) =-\sin\bigl(\sqrt{f(x)}\bigr)\cdot\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}.
  1. O lado direito \frac{d}{dx}(x)=1.
Somando tudo:
3x^{2}f^{2}(x)+2x^{3}f(x)\,f'(x) -\frac{\sin(\sqrt{f(x)})}{2\sqrt{f(x)}}\,f'(x) =1.

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm f'(x):
2x^{3}f(x)\,f'(x)\;-\;\frac{\sin(\sqrt{f(x)})}{2\sqrt{f(x)}}\,f'(x) =1-3x^{2}f^{2}(x).
Isole f'(x):
f'(x) =\frac{1-3x^{2}f^{2}(x)} {2x^{3}f(x)-\dfrac{\sin(\sqrt{f(x)})}{2\sqrt{f(x)}}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1-3x^{2}f(x)^{2}} {2x^{3}f(x)-\dfrac{\sin(\sqrt{f(x)})}{2\sqrt{f(x)}}}.

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