Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
|z|>2, \quad|\arg (z)|<\pi

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano complexo os dois conjuntos
  1. \{z\mid |z|>2\}
  2. \{z\mid |\arg(z)|<\pi\}
    e, em seguida, determinar para cada um se é aberto ou fechado e se é limitado ou não. Vamos usar conceitos de vizinhança (continuidade da norma e do argumento) e definição de aberto/fechado e limitado/ilimitado.

Passo 2

Conjunto \{z\mid |z|>2\}:
– Graficamente, é a região exterior ao círculo de raio 2 centrado na origem. Desenha-se o círculo |z|=2 como linha pontilhada (pois não faz parte do conjunto) e soma-se sombra na parte de fora.
– Como a função z\mapsto|z| é contínua e (2,\infty) é aberto em \mathbb{R}, a condição |z|>2 define um conjunto aberto.
– A região vai até o infinito, portanto não há nenhum inteiro R que a contenha inteira num disco de raio R. Logo, é ilimitado.

Passo 3

Conjunto \{z\mid |\arg(z)|<\pi\}:
– Aqui tomamos o argumento principal de z em (-\pi,\pi). Graficamente, é o plano complexo “cortado” ao longo do semieixo real negativo. Desenha-se o semieixo real negativo (pontos com \Re z<0, \Im z=0) como linha pontilhada e sombreia-se todo o resto do plano.
– A função z\mapsto\arg(z) (com valor em (-\pi,\pi]) é contínua longe da linha de corte, e como estamos exigindo |\arg(z)|<\pi, obtemos um conjunto aberto.
– Novamente, essa região se estende indefinidamente em todas as direções (exceto pela linha cortada), logo é ilimitada.

Resposta

  1. \{z\mid |z|>2\}: aberto e ilimitado.
  2. \{z\mid |\arg(z)|<\pi\}: aberto e ilimitado.

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