Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no plano complexo os dois conjuntos
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-
e, em seguida, determinar para cada um se é aberto ou fechado e se é limitado ou não. Vamos usar conceitos de vizinhança (continuidade da norma e do argumento) e definição de aberto/fechado e limitado/ilimitado.
Passo 2
Conjunto
:
– Graficamente, é a região exterior ao círculo de raio centrado na origem. Desenha-se o círculo
como linha pontilhada (pois não faz parte do conjunto) e soma-se sombra na parte de fora.
– Como a função é contínua e
é aberto em
, a condição
define um conjunto aberto.
– A região vai até o infinito, portanto não há nenhum inteiro que a contenha inteira num disco de raio
. Logo, é ilimitado.
– Graficamente, é a região exterior ao círculo de raio
– Como a função
– A região vai até o infinito, portanto não há nenhum inteiro
Passo 3
Conjunto
:
– Aqui tomamos o argumento principal de em
. Graficamente, é o plano complexo “cortado” ao longo do semieixo real negativo. Desenha-se o semieixo real negativo (pontos com
,
) como linha pontilhada e sombreia-se todo o resto do plano.
– A função (com valor em
) é contínua longe da linha de corte, e como estamos exigindo
, obtemos um conjunto aberto.
– Novamente, essa região se estende indefinidamente em todas as direções (exceto pela linha cortada), logo é ilimitada.
– Aqui tomamos o argumento principal de
– A função
– Novamente, essa região se estende indefinidamente em todas as direções (exceto pela linha cortada), logo é ilimitada.
Resposta
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: aberto e ilimitado. -
: aberto e ilimitado.