Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações:
|x-3|+|x-4|=9

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, em \mathbb{R}, a equação
|x-3|+|x-4|=9.
Informações dadas: a expressão contém duas barras de valor absoluto |x-3| e |x-4| e o resultado exigido é o conjunto de todos os números reais x que tornam essa igualdade verdadeira. Não há mais condições adicionais.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma prática: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto é, |a|\] é a distância de \(a até 0. Aplicando isso a |x-3| e |x-4|, vou tratar separadamente os sinais de x-3 e de x-4, porque onde esses fatores mudam de sinal (quando são zero) a expressão muda de forma.]

Passo 3

Identifico os pontos que tornam os argumentos dos valores absolutos iguais a zero: são x=3 e x=4. Esses pontos dividem a reta em três regiões onde os sinais de x-3 e x-4 são constantes:
  1. \,x<3,
  2. \,3\le x<4,
  3. \,x\ge4.
    Vou resolver a equação separadamente em cada uma dessas regiões, usando a definição piecewise do valor absoluto.

Passo 4

Região 1: \,x<3.
Aqui x-3<0 e x-4<0, então
|x-3|=-(x-3)=3-x,\qquad |x-4|=-(x-4)=4-x.
Somando:
|x-3|+|x-4|=(3-x)+(4-x)=7-2x.
Impondo a equação:
7-2x=9.
Resolvo:
-2x=9-7=2\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Verifico a condição da região: -1<3 é verdadeira, logo x=-1 é uma solução válida.

Passo 5

Região 2: \,3\le x<4.
Aqui x-3\ge0 e x-4<0, então
|x-3|=x-3,\qquad |x-4|=4-x.
Somando:
|x-3|+|x-4|=(x-3)+(4-x)=1.
A equação fica
1=9,
que é impossível. Logo não há soluções nesta região.

Passo 6

Região 3: \,x\ge4.
Aqui x-3\ge0 e x-4\ge0, então
|x-3|=x-3,\qquad |x-4|=x-4.
Somando:
|x-3|+|x-4|=(x-3)+(x-4)=2x-7.
Impondo a equação:
2x-7=9.
Resolvo:
2x=9+7=16\quad\Rightarrow\quad x=8.
Verifico a condição da região: 8\ge4 é verdadeira, logo x=8 é solução válida.

Passo 7

Verificação final (substituindo na equação original):
Para \,x=-1:
|{-1}-3|+|{-1}-4|=|{-4}|+|{-5}|=4+5=9.
Para \,x=8:
|8-3|+|8-4|=|5|+|4|=5+4=9.
Ambos satisfazem a equação.

Resposta

\{-1,\;8\}

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