Exercício 16. Resolva, em
, as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, em
, a equação
Informações dadas: a expressão contém duas barras de valor absoluto
e
e o resultado exigido é o conjunto de todos os números reais
que tornam essa igualdade verdadeira. Não há mais condições adicionais.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto de forma prática: para qualquer número real
Isto é,
até
. Aplicando isso a
e
, vou tratar separadamente os sinais de
e de
, porque onde esses fatores mudam de sinal (quando são zero) a expressão muda de forma.]
Passo 3
Identifico os pontos que tornam os argumentos dos valores absolutos iguais a zero: são
e
. Esses pontos dividem a reta em três regiões onde os sinais de
e
são constantes:
-
, -
, -
.
Vou resolver a equação separadamente em cada uma dessas regiões, usando a definição piecewise do valor absoluto.
Passo 4
Região 1:
.
Aqui e
, então
Aqui
Somando:
Impondo a equação:
Resolvo:
Verifico a condição da região:
é verdadeira, logo
é uma solução válida.
Passo 5
Região 2:
.
Aqui e
, então
Aqui
Somando:
A equação fica
que é impossível. Logo não há soluções nesta região.
Passo 6
Região 3:
.
Aqui e
, então
Aqui
Somando:
Impondo a equação:
Resolvo:
Verifico a condição da região:
é verdadeira, logo
é solução válida.
Passo 7
Verificação final (substituindo na equação original):
Para :
Para
Para
:
Ambos satisfazem a equação.