Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações:
|x+3|=x+5

Passo 1

O enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a equação
|x+3| = x+5.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e o domínio é todos os números reais.
  • Há um valor absoluto |x+3| no membro esquerdo.
  • Devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (mini-aula): para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Isso significa que o valor absoluto sempre dá um número não negativo; quando y\] já é não negativo, \(|y|=y; quando y é negativo, |y|=-y (o sinal inverte). No nosso caso, y=x+3. A técnica padrão é fazer uma análise por casos conforme o sinal de x+3.]

Passo 3

Definimos os dois casos baseados no sinal de x+3:
  • Caso A: x+3 \ge 0, isto é, x \ge -3.
  • Caso B: x+3 < 0, isto é, x < -3.

Passo 4

Resolver o Caso A ( x\ge -3):
Se x+3\ge0, então |x+3| = x+3. Substituindo na equação,
x+3 = x+5.
Agora simplificamos: subtrai-se x dos dois lados,
3 = 5,
o que é uma contradição (impossível). Portanto não existem soluções com x\ge -3.

Passo 5

Resolver o Caso B ( x< -3):
Se x+3<0, então |x+3| = -(x+3) = -x-3. Substituindo na equação,
-x-3 = x+5.
Agora resolvemos a equação linear: primeiro somamos x aos dois lados,
-3 = 2x+5.
Em seguida subtraímos 5 dos dois lados,
-8 = 2x.
Dividindo por 2,
x = -4.

Passo 6

Verificação e consistência com a hipótese do caso:
  • Verificamos se x=-4 satisfaz a condição do Caso B: -4 < -3 é verdadeiro, então está permitido.
  • Checamos na equação original: |-4+3| = |-1| = 1 e -4+5 = 1. Ambos os lados são iguais, logo x=-4 é solução válida.

Passo 7

Conclusão: a única solução da equação é x=-4.

Resposta

\{-4\}

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