Exercício 16. Resolva, em
, as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver, em
, a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
e o domínio é todos os números reais. - Há um valor absoluto
no membro esquerdo. - Devemos encontrar todos os
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (mini-aula): para qualquer número real
Isso significa que o valor absoluto sempre dá um número não negativo; quando
; quando
é negativo,
(o sinal inverte). No nosso caso,
. A técnica padrão é fazer uma análise por casos conforme o sinal de
.]
Passo 3
Definimos os dois casos baseados no sinal de
:
- Caso A:
, isto é, . - Caso B:
, isto é, .
Passo 4
Resolver o Caso A (
):
Se , então
. Substituindo na equação,
Se
Agora simplificamos: subtrai-se
dos dois lados,
o que é uma contradição (impossível). Portanto não existem soluções com
.
Passo 5
Resolver o Caso B (
):
Se , então
. Substituindo na equação,
Se
Agora resolvemos a equação linear: primeiro somamos
aos dois lados,
Em seguida subtraímos
dos dois lados,
Dividindo por
,
Passo 6
Verificação e consistência com a hipótese do caso:
- Verificamos se
satisfaz a condição do Caso B: é verdadeiro, então está permitido. - Checamos na equação original:
e . Ambos os lados são iguais, logo é solução válida.
Passo 7
Conclusão: a única solução da equação é
.