Exercício 26. Seja f a função definida como:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x^{2} \text { se } x \leq c \\\ a x+b \text { se } x>c \end{array}\right.
Ache os valores de \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} em termos de \boldsymbol{c} de modo que f^{\prime}\text{(c)} exista.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\le c,\\[4pt] ax+b, & \text{se } x>c, \end{cases}
e pede: “Achar a e b em termos de c de modo que f'\text{(c)} exista.”\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{1. } f(x)=x^{2}\\ \text{para } x\le c.
\text{2. } f(x)=ax+b\\ \text{para } x>c.
\text{3. Queremos que } f'\text{(c)}\\ \text{exista (ou seja, a derivada em } x=c \text{ exista).}]

Passo 2

Entender o que significa " f'\text{(c)} existe" (explicação didática).\n
Para a derivada de uma função num ponto existir, duas coisas são necessárias e, no caso de função por partes, suficientes:
\text{(i) } f \text{ é contínua em } x=c,éí
\text{(ii) } \text{as derivadas laterais em } c \text{ coincidem: } f'_{-}\text{(c)}=f'_{+}\text{(c)}.
Vou explicar por que: a derivada é o limite do quociente de diferença quando x\to c. Se os limites vindo da esquerda e da direita existem e são iguais, então o limite total existe. Se a função tem salto (não é contínua) em c, os quocientes de diferença não podem convergir para o mesmo número finito, então a derivada não existe. Portanto precisamos impor continuidade e igualdade das derivadas laterais.

Passo 3

Impor a condição de continuidade em x=c (aula mini sobre continuidade).\n
Continuidade em c significa que o valor à esquerda em c (que é também o valor da função em c, já que a definição dá a peça x^2 para x\le c) coincide com o limite vindo da direita. Ou seja:
\lim_{x\to c^-} f(x)=f\text{(c)}=\lim_{x\to c^+} f(x).
Aqui f\text{(c)}=c^{2} (porque usamos a parte x^2 em x=c). O limite pela direita, quando x\to c^{+}, usa a parte linear ax+b. Portanto a condição é
c^{2}=a c + b.
Este é o primeiro vínculo entre a, b e c.

Passo 4

Calcular a derivada lateral à esquerda em c (aula mini sobre derivada de x^{2}).\n
A derivada da função g(x)=x^{2} para qualquer ponto interior é dada pela regra conhecida:
g'(x)=2x.
Se você quiser ver pelo quociente de diferença, é
g' \text{(c)}=\lim_{h\to0}\frac{(c+h)^{2}-c^{2}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2ch+h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}(2c+h)=2c.
Como queremos a derivada vindo da esquerda, escrevemos
f'_{-}\text{(c)}=2c.
(Observação: a fórmula g'(x)=2x vale tanto para limites pela direita quanto pela esquerda; aqui usamos a peça x^{2} que é válida até x=c.)

Passo 5

Calcular a derivada lateral à direita em c (aula mini sobre derivada de reta).\n
A função linear h(x)=ax+b tem derivada constante igual a a, porque
h'(x)=\lim_{h\to0}\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{ah}{h}=a.
Portanto a derivada à direita é
f'_{+}\text{(c)}=a.

Passo 6

Impor a igualdade das derivadas laterais (condição de diferenciabilidade).\n
Para que f'\text{(c)} exista precisamos de
f'_{-}\text{(c)}=f'_{+}\text{(c)}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
2c = a.
Logo encontramos a em termos de c:
a=2c.

Passo 7

Determinar b usando a condição de continuidade já escrita no Passo 3.\n
Da continuidade tínhamos
c^{2}=a c + b.
Substituindo a=2c:
c^{2}=(2c)\,c + b = 2c^{2} + b.
Isolando b:
b = c^{2} - 2c^{2} = -c^{2}.

Passo 8

Verificação rápida e conclusão (por que isso é suficiente).\n
Com a=2c e b=-c^{2} temos:
\text{continuidade: } c^{2} = (2c)\,c + (-c^{2}) = 2c^{2}-c^{2}=c^{2},
\text{derivadas laterais: } f'_{-}\text{(c)}=2c,\quad f'_{+}\text{(c)}=a=2c.
Ambas as condições são satisfeitas, logo f'\text{(c)} existe. O valor da derivada em c será f'\text{(c)}=2c, se quiser saber.

Resposta

a=2c\
b=-c^{2}

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