Exercício 26. Seja
a função definida como:
Ache os valores de
em termos de
de modo que
exista.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: “Achar
e
em termos de
de modo que
exista.”\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Entender o que significa "
existe" (explicação didática).\n
Para a derivada de uma função num ponto existir, duas coisas são necessárias e, no caso de função por partes, suficientes:
Para a derivada de uma função num ponto existir, duas coisas são necessárias e, no caso de função por partes, suficientes:
Vou explicar por que: a derivada é o limite do quociente de diferença quando
. Se os limites vindo da esquerda e da direita existem e são iguais, então o limite total existe. Se a função tem salto (não é contínua) em
, os quocientes de diferença não podem convergir para o mesmo número finito, então a derivada não existe. Portanto precisamos impor continuidade e igualdade das derivadas laterais.
Passo 3
Impor a condição de continuidade em
(aula mini sobre continuidade).\n
Continuidade em significa que o valor à esquerda em
(que é também o valor da função em
, já que a definição dá a peça
para
) coincide com o limite vindo da direita. Ou seja:
Continuidade em
Aqui
(porque usamos a parte
em
). O limite pela direita, quando
, usa a parte linear
. Portanto a condição é
Este é o primeiro vínculo entre
,
e
.
Passo 4
Calcular a derivada lateral à esquerda em
(aula mini sobre derivada de
).\n
A derivada da função para qualquer ponto interior é dada pela regra conhecida:
A derivada da função
Se você quiser ver pelo quociente de diferença, é
Como queremos a derivada vindo da esquerda, escrevemos
(Observação: a fórmula
vale tanto para limites pela direita quanto pela esquerda; aqui usamos a peça
que é válida até
.)
Passo 5
Calcular a derivada lateral à direita em
(aula mini sobre derivada de reta).\n
A função linear tem derivada constante igual a
, porque
A função linear
Portanto a derivada à direita é
Passo 6
Impor a igualdade das derivadas laterais (condição de diferenciabilidade).\n
Para que exista precisamos de
Para que
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Logo encontramos
em termos de
:
Passo 7
Determinar
usando a condição de continuidade já escrita no Passo 3.\n
Da continuidade tínhamos
Da continuidade tínhamos
Substituindo
:
Isolando
:
Passo 8
Verificação rápida e conclusão (por que isso é suficiente).\n
Com e
temos:
Com
Ambas as condições são satisfeitas, logo
existe. O valor da derivada em
será
, se quiser saber.