Exercício 27. Dado \mathrm{c}>0, seja f a função definida como:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{1}{|x|} \text { se }|x|>c \\\ a+b x^{2} \text { se }|x| \leq c \end{array}\right.
Ache os valores de \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} em termos de \boldsymbol{c} de modo que f^{\prime}\text{(c)} exista.

Passo 1

O enunciado dá uma função dependente de um parâmetro [c>0) e pede que a derivada em x=c exista, determinando a e b em função de c. Dados e o que se pede:
  • Dado c>0.
  • A função é
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{|x|}, & \text{se }|x|>c,\\[6pt] a+b x^{2}, & \text{se }|x|\le c. \end{cases}
  • Incógnitas: a\] e \(b.
  • Objetivo: achar a e b em termos de c de modo que f'\text{(c)} exista (ou seja, a derivada em x=c exista).
Observação imediata: como c>0, para x próximo de c com x>c temos |x|=x, então o ramo externo à direita é 1/x. Não vamos ainda resolver nada — a partir do próximo passo começamos a aplicar as condições necessárias para existência de derivada.]

Passo 2

Condição necessária e suficiente prática para f'\text{(c)} existir (explicando devagar):
  • Se f'\text{(c)} existe, então f é contínua em c e as derivadas laterais (à esquerda e à direita) existem e são iguais.
  • Reciprocamente, se f é contínua em c e as derivadas laterais existem e coincidem, então f'\text{(c)} existe e é esse valor comum.
Portanto vamos impor duas condições: (i) continuidade em c, e (ii) igualdade entre derivada à esquerda e à direita em c. Vou calcular ambas e resolver para a e b.

Passo 3

Primeira condição: continuidade em c.
  • Como c pertence ao intervalo |x|\le c, o valor da função em x=c é dado pelo ramo interno: f\text{(c)}=a+b c^{2}.
  • O limite quando x\to c^+ (pela direita) utiliza o ramo externo, que para x>0 é 1/x; portanto \lim_{x\to c^+} f(x)=1/c.
  • Para que f seja contínua em c devemos ter
a+b c^{2}=\frac{1}{c}.
Essa é a equação de continuidade.

Passo 4

Segunda condição: igualdade das derivadas laterais. Primeiro a derivada pelo interior (aproximação por x<c dentro de |x|\le c).
  • O ramo interno é g(x)=a+b x^{2}. Regra básica: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de constante é 0. Assim
g'(x)=2b x.
  • Aproximando x por valores menores que c e tendendo a c (isto é, a derivada à esquerda em c dentro do ramo interno), obtemos
\text{derivada à esquerda em }c = 2b c.à
Expliquei por que a derivada do polinômio é 2bx: aplicamos a regra do poder para x^{2} e multiplicamos pelo coeficiente b.

Passo 5

Agora a derivada pelo exterior (pelo lado direito, x>c).
  • Para x>0 temos |x|=x, logo o ramo externo é h(x)=1/x. Escrevendo 1/x=x^{-1}, a regra do poder diz que a derivada é -1\cdot x^{-2}. Portanto
h'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
  • Avaliando em x=c obtemos a derivada à direita:
\text{derivada à direita em }c = -\frac{1}{c^{2}}.à

Passo 6

Impondo igualdade das derivadas laterais (condição necessária para diferenciabilidade):
  • Devemos ter
2b c = -\frac{1}{c^{2}}.
  • Resolvendo para b: divida ambos os lados por 2c:
b = -\frac{1}{2c^{3}}.
Mostrei passo a passo: isolamos b multiplicando/dividindo por fatores simples sem pular etapas.

Passo 7

Agora uso b na equação de continuidade do Passo 3 para encontrar a.
  • A equação de continuidade era a+b c^{2}=\dfrac{1}{c}.
  • Substituindo b=-\dfrac{1}{2c^{3}},
b c^{2} = -\frac{1}{2c^{3}}\cdot c^{2} = -\frac{1}{2c}.
  • Portanto
a = \frac{1}{c} - b c^{2} = \frac{1}{c} -\left(-\frac{1}{2c}\right) = \frac{1}{c}+\frac{1}{2c}=\frac{3}{2c}.

Passo 8

Checagem rápida (para ganhar confiança):
  • Valor encontrado para b: b=-\dfrac{1}{2c^{3}}. A derivada à esquerda vale 2b c = 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2c^{3}}\right)\cdot c = -\dfrac{1}{c^{2}}.
  • Derivada à direita já era -\dfrac{1}{c^{2}}. Coincidem, ótimo.
  • Valor de a: a=\dfrac{3}{2c}. Então a+b c^{2}=\dfrac{3}{2c}+(-\dfrac{1}{2c})=\dfrac{1}{c}, que coincide com o limite externo. Assim a função é contínua em c e as derivadas laterais coincidem: f'\text{(c)} existe.

Resposta

a=\dfrac{3}{2c}\n b=-\dfrac{1}{2c^{3}}

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