Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{arccos} ^{2}(\sqrt{x}), 0<x<1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(\operatorname{arccos}(\sqrt{x})\bigr)^{2},\quad 0<x<1.
O conteúdo principal é a regra da cadeia, junto com as derivadas de \operatorname{arccos}(u) e de \sqrt{x}.

Passo 2

Definimos u(x)=\sqrt{x} e v(u)=\operatorname{arccos}(u), de modo que f(x)=\bigl(v(u(x))\bigr)^{2}. Pela regra da cadeia para uma função ao quadrado:
f'(x)=2\,v\bigl(u(x)\bigr)\;\cdot\;v'\bigl(u(x)\bigr)\;\cdot\;u'(x).

Passo 3

A derivada de v(u)=\operatorname{arccos}(u) é
v'(u)=\frac{d}{du}\operatorname{arccos}(u)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 4

A derivada de u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} é
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=2\;\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\;\biggl(-\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\biggr)\;\frac{1}{2\sqrt{x}}
temos \sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}=\sqrt{1-x} e o 2 cancela com \tfrac{1}{2}, logo
f'(x)=-\frac{\operatorname{arccos}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{\operatorname{arccos}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}.

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