Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{arcsen}^{2}(x),-1<x<1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(\arcsin(x)\bigr)^{2},\qquad -1<x<1.
O conteúdo envolvido é a derivada de uma função composta e a derivada da função inversa trigonométrica \arcsin(x).

Passo 2

Lembramos que a derivada de \arcsin(x) em seu domínio -1<x<1 é
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(x)\bigr] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 3

Defina u(x)=\arcsin(x). Então f(x)=u(x)^{2} e, pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,u(x)\,\bigl(u'(x)\bigr).

Passo 4

Substituindo u(x)=\arcsin(x) e u'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} obtemos
f'(x) =2\,\arcsin(x)\,\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{2\,\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\,\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

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