Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{arcsen}^{2}(3 x),-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arcsen}^{2}(3x),
no intervalo \bigl(-\tfrac13,\tfrac13\bigr). O conteúdo necessário é a regra da cadeia e a derivada da função inversa trigonométrica \operatorname{arcsen}(u).

Passo 2

Identificamos duas composições: f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2} com g(x)=\operatorname{arcsen}(3x).
Pela regra da cadeia para potências,
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Como g(x)=\operatorname{arcsen}(u) com u=3x, usamos
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}
e a derivada de u=3x é u'=3. Logo,
g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^{2}}}\cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}.

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x)=2\,g(x)\,g'(x), obtemos
f'(x) =2\,\operatorname{arcsen}(3x)\,\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}} =\frac{6\,\operatorname{arcsen}(3x)}{\sqrt{1-9x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{6\,\operatorname{arcsen}(3x)}{\sqrt{1-9x^{2}}}.

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