Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}}.
Para resolver vamos usar dois ingredientes: a derivada de \operatorname{arctg}(x) e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{arctg}(x), \quad v(x)=1+x^{2}.
Sabemos que
u'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \quad\text{(derivada de arctg)}
e
v'(x)=2x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' =\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =\frac{\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\,(1+x^{2}) \;-\;\operatorname{arctg}(x)\,(2x)}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1-2x\,\operatorname{arctg}(x)}{(1+x^{2})^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1-2x\,\operatorname{arctg}(x)}{(1+x^{2})^{2}}.

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