Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{arctg}^{3}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{arctg}^{3}(x). O conteúdo envolvido é a derivada de uma função composta elevada a uma potência, então vamos usar a Regra da Cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\operatorname{arctg}(x)
e a função externa
h(u)=u^{3}.
Sabemos que
h'(u)=3u^{2}
e que a derivada da função interna é
u'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, temos
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =3\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr)^{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3\,\operatorname{arctg}^{2}(x)}{1+x^{2}}.

Exercícios relacionados