Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{arccotg}(3 \mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arccotg}(3x),
logo o conteúdo envolvido é a derivada da função trigonométrica inversa \operatorname{arccotg}(x) e a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Lembrando que a derivada de \operatorname{arccotg}(x) em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccotg}(x)\bigr] =-\frac{1}{1+x^2}.

Passo 3

Aplicando regra da cadeia, seja u=3x. Temos u'=3 e
f'(x) =\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccotg}(u)\bigr]\Big|_{u=3x}\cdot u' =-\frac{1}{1+u^2}\cdot 3 =-\frac{3}{1+(3x)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{1+9x^2}.

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