Exercício 16 No que segue,
é um número natural. Dado o conjunto
, considere a sentença:
Assinale, dentre as frases abaixo, aquela que não corresponde ao que esta sentença significa:
(a) Para cada número real
, existe um número natural
, de sorte que
, sempre que
.
(b) Para qualquer que seja o número real positivo
, existe um número natural
tal que
, caso
.
(c) Para todo número real
, existe um número natural
, de sorte que, se
, então
.
(d) Para todo número real
positivo, temos
para algum
, onde
é um número natural.
(e) Dado um número real
positivo, existe um número natural
, de modo que, se
, então
.
(a) Para cada número real
(b) Para qualquer que seja o número real positivo
(c) Para todo número real
(d) Para todo número real
(e) Dado um número real
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e a sentença lógica
A tarefa é: identificar, entre as alternativas (a)–(e), qual delas NÃO corresponde ao significado dessa sentença.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há um quantificador universal externo:
. - Há um quantificador existencial interno:
. - A condição final é uma implicação
, que, no contexto dos , equivale a dizer “para todo vale ”. - O objetivo é comparar essa leitura formal com as cinco frases dadas e achar a que NÃO é equivalente.
Passo 2
Vou traduzir a sentença formal, peça por peça, para ficar bem claro o que ela afirma.
A sentença original pode ser reescrita explicitando todos os quantificadores assim:
Explicando cada símbolo:
-
: “para todo número real maior que zero” (ou seja, qualquer tolerância positiva). -
: “existe um índice natural ” que pode depender de . -
: “para todo natural, se então ”. Em linguagem mais habitual: “todos os termos da sequência a partir de um certo índice estão a uma distância menor que de .”
Observação didática sobre a implicação: a proposição
é verdadeira sempre que não ocorre
com
. No contexto de
, para que o enunciado seja forte ele precisa valer para todo
— isto é, a implicação está dentro de um quantificador universal sobre
.
Passo 3
Agora um pequeno “aula rápida” sobre os quantificadores, porque aqui o truque está em distinguir bem “para todo” e “existe”:
-
significa: cada elemento do universo satisfaz . -
significa: há pelo menos um elemento do universo que satisfaz .
Esses dois são muito diferentes. Por exemplo, se
= “
é par” e o universo for os naturais maiores que 1:
-
é verdade (há pares: 2, 4, …), -
é falso (nem todo número >1 é par).
Aplicando ao nosso caso: “existe
tal que
” é uma afirmação muito mais fraca do que “para todo
vale
”. A definição de convergência usa o segundo (forte).
Passo 4
Traduzo rapidamente (em forma lógica informal) as alternativas para comparar:
(a) “Para cada
, existe
tal que
sempre que
.”
- Em lógica:
. - Isto é exatamente a mesma forma que a sentença original. Portanto (a) corresponde.
(b) “Para qualquer que seja o número real positivo
, existe
tal que
, caso
.”
- Mesma tradução lógica que em (a). Corresponde.
(c) “Para todo
, existe
de sorte que, se
, então
.”
- Novamente:
. Corresponde.
(e) “Dado um
, existe
tal que, se
, então
.”
- Mesma coisa, apenas formulada de forma direta. Corresponde.
Concluímos: (a), (b), (c) e (e) são equivalentes à sentença original.
Passo 5
Agora examino (d) cuidadosamente e traduzo o que ela afirma literalmente:
(d) “Para todo número real
, temos
para algum
, onde
é um número natural.”
Uma leitura natural em lógica desta frase (a forma mais fraca) é:
Isto diz: para cada
existe um índice
(possivelmente dependendo de
) tal que existe pelo menos um
com
. Note a presença de dois quantificadores existenciais sobre índices; crucialmente falta o “
” (ou seja, falta “todos os termos a partir de
”).
Portanto (d) exige apenas que, depois de algum ponto
, apareça ao menos um termo (um só) que fique dentro de
de
. Isso é muito mais fraco do que exigir que todos os termos a partir desse ponto fiquem dentro de
.
Passo 6
Para convencer de vez, apresento um contraexemplo concreto: defina a sequência
e tome
.
Verificações:
- Para qualquer
e para qualquer , existe um índice ímpar (basta pegar o próximo ímpar). Para esse ímpar temos . Logo, para todo existe tal que existe com . Assim a propriedade da alternativa (d) (na forma fraca indicada) pode ser satisfeita por esta sequência. - Porém a sequência não converge para
: considere . Para qualquer há termos pares com , e então . Logo não existe tal que para todo valha . Portanto a definição forte (a original) falha.
Isto mostra que (d) não é equivalente à sentença original: ela é mais fraca e aceita sequências que NÃO convergem.]
Passo 7
Conclusão: a única alternativa que NÃO corresponde ao significado dado pela sentença (a definição usual de convergência de sequência) é a alternativa (d).
Resposta
(d)