Exercício 16 No que segue, n é um número natural. Dado o conjunto \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right\} \subset \mathbb{R}, considere a sentença:
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N} ; n>n_{0} \Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon
Assinale, dentre as frases abaixo, aquela que não corresponde ao que esta sentença significa:
(a) Para cada número real \varepsilon>0, existe um número natural n_{0}, de sorte que \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon, sempre que n \in\left\{n_{0}+1, n_{0}+2, n_{0}+3, \ldots\right\}.
(b) Para qualquer que seja o número real positivo \varepsilon, existe um número natural n_{0} tal que \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon, caso n>n_{0}.
(c) Para todo número real \varepsilon>0, existe um número natural n_{0}, de sorte que, se n \in\left\{n_{0}+1, n_{0}+\right. \left.2, n_{0}+3, \ldots\right\}, então \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon.
(d) Para todo número real \varepsilon positivo, temos \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon para algum n>n_{0}, onde n_{0} é um número natural.
(e) Dado um número real \varepsilon positivo, existe um número natural n_{0}, de modo que, se n>n_{0}, então \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\}\subset\mathbb{R} e a sentença lógica
\forall \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon>0,\\ \exists n_{0}\in\mathbb{N};\\ n>n_{0}\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon.
A tarefa é: identificar, entre as alternativas (a)–(e), qual delas NÃO corresponde ao significado dessa sentença.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um quantificador universal externo: \forall \varepsilon>0.
  • Há um quantificador existencial interno: \exists n_{0}\in\mathbb{N}.
  • A condição final é uma implicação n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\varepsilon, que, no contexto dos n\in\mathbb{N}, equivale a dizer “para todo n>n_{0} vale |a_{n}-a|<\varepsilon”.
  • O objetivo é comparar essa leitura formal com as cinco frases dadas e achar a que NÃO é equivalente.

Passo 2

Vou traduzir a sentença formal, peça por peça, para ficar bem claro o que ela afirma.
A sentença original pode ser reescrita explicitando todos os quantificadores assim:
\forall \varepsilon>0\\ \exists n_{0}\in\mathbb{N}\\ \forall n\in\mathbb{N}\\ \bigl(n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\varepsilon\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \forall \varepsilon>0: “para todo número real \varepsilon maior que zero” (ou seja, qualquer tolerância positiva).
  • \exists n_{0}\in\mathbb{N}: “existe um índice natural n_{0}” que pode depender de \varepsilon.
  • \forall n\in\mathbb{N}\\ (n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\varepsilon): “para todo n natural, se n>n_{0} então |a_{n}-a|<\varepsilon”. Em linguagem mais habitual: “todos os termos da sequência a partir de um certo índice n_{0}+1 estão a uma distância menor que \varepsilon de a.”
Observação didática sobre a implicação: a proposição P\Rightarrow Q é verdadeira sempre que não ocorre P com \lnot Q. No contexto de n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\varepsilon, para que o enunciado seja forte ele precisa valer para todo n>n_{0} — isto é, a implicação está dentro de um quantificador universal sobre n.

Passo 3

Agora um pequeno “aula rápida” sobre os quantificadores, porque aqui o truque está em distinguir bem “para todo” e “existe”:
  • \forall x\\ P(x) significa: cada elemento do universo satisfaz P.
  • \exists x\\ P(x) significa: há pelo menos um elemento do universo que satisfaz P.
Esses dois são muito diferentes. Por exemplo, se P(n) = “ n é par” e o universo for os naturais maiores que 1:
  • \exists n>1\\ P(n) é verdade (há pares: 2, 4, …),
  • \forall n>1\\ P(n) é falso (nem todo número >1 é par).
Aplicando ao nosso caso: “existe n>n_{0} tal que |a_{n}-a|<\varepsilon” é uma afirmação muito mais fraca do que “para todo n>n_{0} vale |a_{n}-a|<\varepsilon”. A definição de convergência usa o segundo (forte).

Passo 4

Traduzo rapidamente (em forma lógica informal) as alternativas para comparar:
(a) “Para cada \varepsilon>0, existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que |a_{n}-a|<\varepsilon sempre que n\in\{n_{0}+1,n_{0}+2,\ldots\}.”
  • Em lógica: \forall\varepsilon>0\\ \exists n_0\\ \forall n>n_0:\\ |a_n-a|<\varepsilon.
  • Isto é exatamente a mesma forma que a sentença original. Portanto (a) corresponde.
(b) “Para qualquer que seja o número real positivo \varepsilon, existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que |a_{n}-a|<\varepsilon, caso n>n_{0}.”
  • Mesma tradução lógica que em (a). Corresponde.
(c) “Para todo \varepsilon>0, existe n_{0}\in\mathbb{N} de sorte que, se n\in\{n_{0}+1,n_{0}+2,\ldots\}, então |a_{n}-a|<\varepsilon.”
  • Novamente: \forall\varepsilon>0\\ \exists n_0\\ \forall n>n_0:\\ |a_n-a|<\varepsilon. Corresponde.
(e) “Dado um \varepsilon>0, existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, se n>n_{0}, então |a_{n}-a|<\varepsilon.”
  • Mesma coisa, apenas formulada de forma direta. Corresponde.
Concluímos: (a), (b), (c) e (e) são equivalentes à sentença original.

Passo 5

Agora examino (d) cuidadosamente e traduzo o que ela afirma literalmente:
(d) “Para todo número real \varepsilon>0, temos |a_{n}-a|<\varepsilon para algum n>n_{0}, onde n_{0} é um número natural.”
Uma leitura natural em lógica desta frase (a forma mais fraca) é:
\forall\varepsilon>0\\ \exists n_0\in\mathbb{N}\\ \exists n\in\mathbb{N}\\ \bigl(n>n_0\\ \land\\ |a_n-a|<\varepsilon\bigr).
Isto diz: para cada \varepsilon>0 existe um índice n_0 (possivelmente dependendo de \varepsilon) tal que existe pelo menos um n>n_0 com |a_n-a|<\varepsilon. Note a presença de dois quantificadores existenciais sobre índices; crucialmente falta o “ \forall n>n_0” (ou seja, falta “todos os termos a partir de n_0+1”).
Portanto (d) exige apenas que, depois de algum ponto n_0, apareça ao menos um termo (um só) que fique dentro de \varepsilon de a. Isso é muito mais fraco do que exigir que todos os termos a partir desse ponto fiquem dentro de \varepsilon.

Passo 6

Para convencer de vez, apresento um contraexemplo concreto: defina a sequência
a_n = \begin{cases} 0, & \text{se \(n\) é ímpar},\\[4pt] n, & \text{se \(n\) é par}. \end{cases}éíé
e tome a=0.
Verificações:
  • Para qualquer \varepsilon>0 e para qualquer n_0, existe um índice ímpar n>n_0 (basta pegar o próximo ímpar). Para esse n ímpar temos |a_n-a|=|0-0|=0<\varepsilon. Logo, para todo \varepsilon>0 existe n_0 tal que existe n>n_0 com |a_n-a|<\varepsilon. Assim a propriedade da alternativa (d) (na forma fraca indicada) pode ser satisfeita por esta sequência.
  • Porém a sequência não converge para 0: considere \varepsilon=1. Para qualquer n_0 há termos pares n>n_0 com a_n=n, e então |a_n-0|=n\ge 2>1. Logo não existe n_0 tal que para todo n>n_0 valha |a_n-0|<1. Portanto a definição forte (a original) falha.
Isto mostra que (d) não é equivalente à sentença original: ela é mais fraca e aceita sequências que NÃO convergem.]

Passo 7

Conclusão: a única alternativa que NÃO corresponde ao significado dado pela sentença (a definição usual de convergência de sequência) é a alternativa (d).

Resposta

(d)

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