Exercício 16. Sejam
subconjuntos de
. A diferença simétrica entre
e
é o subconjunto
de
definido por:
.
(a)
e
, determine
.
(b) Mostre que
.
(c) Mostre que
se, e somente se,
.
(a)
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos
como
Pede-se em (a) calcular
para conjuntos concretos, em (b) provar a identidade
e em (c) mostrar que
se, e somente se,
.
Passo 2
Para (a), usamos a definição:
Como
e
,
Logo
Passo 3
Para (b), provamos a igualdade por dupla inclusão:
-
Se
, então e , ou e . Em ambos os casos e . Portanto . -
Se
, então e . Assim ou e , ou e . Logo .
Daí segue
Passo 4
Para (c), mostramos que
é equivalente a
:
- Se
então claramente não existe que esteja em um e não no outro, logo . - Se
, então não há elemento que esteja em exatamente um dos conjuntos. Isso implica que todo também está em , e todo também está em , ou seja, .
Resposta
(a)
(b)
(c) se, e somente se,
.
(b)
(c)