Exercício 16. Sejam A, B subconjuntos de X. A diferença simétrica entre A e B é o subconjunto A De<a B de X definido por: A De<a B:=(A-B) cup(B-A).
(a) Se A:=1,2,3, B:=3,4 e X:=1,, 2,3,4,5, determine A De<a B.
(b) Mostre que A De<a B=(A cup B)-(A cap B).
(c) Mostre que A De<a B=varnothing se, e somente se, A=B.

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos A,Bsubseteq X como
ADe<a B ;=;(A-B);cup;(B-A)
Pede-se em (a) calcular ADe<a B para conjuntos concretos, em (b) provar a identidade
ADe<a B ;=;(Acup B);-;(Acap B),
e em (c) mostrar que ADe<a B=varnothing se, e somente se, A=B.

Passo 2

Para (a), usamos a definição:
A-B=,xin Amid xnotin B, B-A=,xin Bmid xnotin A
Como A=1,2,3 e B=3,4,
A-B=1,2, B-A=4
Logo
ADe<a B=(A-B)cup(B-A)=1,2cup4=1,2,4

Passo 3

Para (b), provamos a igualdade por dupla inclusão:
  1. Se xin ADe<a B, então xin A e xnotin B, ou xin B e xnotin A. Em ambos os casos xin Acup B e xnotin Acap B. Portanto xin(Acup B)-(Acap B).
  2. Se xin(Acup B)-(Acap B), então xin Acup B e xnotin Acap B. Assim ou xin A e xnotin B, ou xin B e xnotin A. Logo xin(A-B)cup(B-A)=ADe<a B.
Daí segue
ADe<a B=(Acup B)-(Acap B)

Passo 4

Para (c), mostramos que ADe<a B=varnothing é equivalente a A=B:
  • Se A=B então claramente não existe x que esteja em um e não no outro, logo ADe<a B=varnothing.
  • Se ADe<a B=varnothing, então não há elemento que esteja em exatamente um dos conjuntos. Isso implica que todo xin A também está em B, e todo xin B também está em A, ou seja, A=B.

Resposta

(a) 1,2,4
(b) ADe<a B=(Acup B)-(Acap B)
(c) ADe<a B=varnothing se, e somente se, A=B.

Exercícios relacionados