Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
Se então .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmativa “Se então ” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo: determinante, invertibilidade e inversa de matriz.
Para resolver, vamos usar a definição de inversa ( equivale a ) e lembrar que só garante que , mas não força .
Passo 2
Notemos que, para termos , é preciso ter
Porém, a condição implica apenas
e não diz nada sobre as entradas de . Portanto, em geral não basta para garantir .
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta apresentar um contra-exemplo: uma matriz com determinante que não é igual à sua inversa.
Passo 4
Escolhemos a matriz triangular unipotente
Passo 5
Calculando o determinante de A:
det A = 1cdot1 - 0cdot1 = 1,
logo satisfaz a hipótese det A=1.
Passo 6
A inversa de uma matriz triangular do tipo l[1 & a0 &1r] é
1 & -a 0 & 1
Aqui a=1, então
A^-1 = 1 & -1 0 & 1
Passo 7
Comparando
A = 1 & 1 0 & 1 e A^-1 = 1 & -1 0 & 1,
vemos que A neq A^-1. Portanto, mesmo com det A=1, não temos A=A^-1.