Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
Se det A=1 então A=A^-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmativa “Se det A=1 então A=A^-1” é verdadeira ou falsa.
Conteúdo: determinante, invertibilidade e inversa de matriz.
Para resolver, vamos usar a definição de inversa ( A=A^-1 equivale a A^2=I) e lembrar que det A=1 só garante que det(A^2)=(det A)^2=1, mas não força A^2=I.

Passo 2

Notemos que, para termos A=A^-1, é preciso ter
A^2 = I
Porém, a condição det A=1 implica apenas
det(A^2)=l(det Ar)^2=1,
e não diz nada sobre as entradas de A^2. Portanto, em geral det A=1 não basta para garantir A^2=I.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta apresentar um contra-exemplo: uma matriz com determinante 1 que não é igual à sua inversa.

Passo 4

Escolhemos a matriz triangular unipotente
A = 1 & 1 0 & 1

Passo 5

Calculando o determinante de A:
det A = 1cdot1 - 0cdot1 = 1,
logo satisfaz a hipótese det A=1.

Passo 6

A inversa de uma matriz triangular do tipo l[1 & a0 &1r] é
1 & -a 0 & 1
Aqui a=1, então
A^-1 = 1 & -1 0 & 1

Passo 7

Comparando
A = 1 & 1 0 & 1 e A^-1 = 1 & -1 0 & 1,
vemos que A neq A^-1. Portanto, mesmo com det A=1, não temos A=A^-1.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
A = 1 & 1 0 & 1,
pois det A=1 mas Aneq A^-1.

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