Exercício 17. Sejam B subseteq A conjuntos e fB: A 0,1 definida por: fB(x)=0 se x notin B, e fB(x)=1 se x in B. Determine condições necessárias e suficientes para fB ser
(a) Injetora.
(b) Sobrejetora.
(c) Bijetora.

Passo 1

O enunciado define uma função
onde e para que seja
– injetora (nenhum par distinto tem a mesma imagem),
– sobrejetora (a imagem é todo ),
– bijetora (ambas as propriedades).

Passo 2

Para fB ser injetora lembramos que não pode haver xneq y em A com fB(x)=fB(y).
– Os pontos de Asetminus B têm todos valor 0. Para não ter colisão, deve haver no máximo um elemento em Asetminus B. Ou seja,
lvert Asetminus Brvert <= 1
– Os pontos de B têm todos valor 1. Para não ter colisão, deve haver no máximo um elemento em B. Ou seja,
lvert Brvert <= 1
Logo condição necessária e suficiente para injetividade é
lvert Brvert <= 1 e lvert Asetminus Brvert <= 1

Passo 3

Para fB ser sobrejetora queremos que a imagem seja exatamente 0,1. Isso exige que exista x tal que fB(x)=0 e exista y tal que fB(y)=1. Em termos de B, isso significa
Asetminus Bneqvarnothing e Bneqvarnothing
Ou seja, B é um subconjunto próprio não-vazio de A:
varnothing subsetneq B subsetneq A

Passo 4

Para fB ser bijetora basta ter simultaneamente injetividade (Passo 2) e sobrejetividade (Passo 3). Das duas condições juntas vem
lvert Brvert =1 e lvert Asetminus Brvert =1,
isto é, A tem exatamente dois elementos e B tem exatamente um desses.

Resposta

(a) fB é injetora se, e somente se,
lvert Brvert <= 1 e lvert Asetminus Brvert <= 1.
(b) fB é sobrejetora se, e somente se,
varnothing subsetneq B subsetneq A.
(c) fB é bijetora se, e somente se,
lvert Brvert =1 e lvert Asetminus Brvert =1.

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