Exercício 17. Sejam
conjuntos e
definida por:
se
, e
se
. Determine condições necessárias e suficientes para
ser
(a) Injetora.
(b) Sobrejetora.
(c) Bijetora.
(a) Injetora.
(b) Sobrejetora.
(c) Bijetora.
Passo 1
O enunciado define uma função
onde e
para que
seja
– injetora (nenhum par distinto tem a mesma imagem),
– sobrejetora (a imagem é todo ),
– bijetora (ambas as propriedades).
– sobrejetora (a imagem é todo
– bijetora (ambas as propriedades).
Passo 2
Para
ser injetora lembramos que não pode haver
em
com
.
– Os pontos de têm todos valor
. Para não ter colisão, deve haver no máximo um elemento em
. Ou seja,
– Os pontos de
– Os pontos de
têm todos valor
. Para não ter colisão, deve haver no máximo um elemento em
. Ou seja,
Logo condição necessária e suficiente para injetividade é
Passo 3
Para
ser sobrejetora queremos que a imagem seja exatamente
. Isso exige que exista
tal que
e exista
tal que
. Em termos de
, isso significa
Ou seja,
é um subconjunto próprio não-vazio de
:
Passo 4
Para
ser bijetora basta ter simultaneamente injetividade (Passo 2) e sobrejetividade (Passo 3). Das duas condições juntas vem
isto é,
tem exatamente dois elementos e
tem exatamente um desses.
Resposta
(a)
é injetora se, e somente se,
e
.
(b) é sobrejetora se, e somente se,
.
(c) é bijetora se, e somente se,
e
.
(b)
(c)