Exercício 16. Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases tais que
& e1=f1+2 f2 & e2=f1+f2+f3 & e3=-f1-f2-2 f3
Determine as coordenadas do vetor u=(4,1,6)E na base F.

Passo 1

O enunciado dá duas bases
;E=vec e1,vec e2,vec e3 e
;F=vec f1,vec f2,vec f3,
com
vec e1&=vec f1+2vec f2, vec e2&=vec f1+vec f2+vec f3, vec e3&=-vec f1-vec f2-2vec f3,
e pede as coordenadas de vec u=(4,1,6)E em F.
Este é um problema de mudança de base: conhecendo as coordenadas das vetores de E em F, montamos a matriz de transição e a aplicamos às coordenadas de vec u em E.

Passo 2

Construímos a matriz de transição P de E para F. Cada coluna de P são as coordenadas de vec ei na base F. Assim, da definição acima:
P = 1 & 1 & -1 2 & 1 & -1 0 & 1 & -2 ,
onde, por exemplo, a primeira coluna 120 corresponde a vec e1=1vec f1+2vec f2+0vec f3.

Passo 3

Sabemos que, se [vec u]E=(4,1,6)^T, então suas coordenadas em F são dadas por
[vec u]F ;=; P,[vec u]E

Passo 4

Calculamos o produto
1 & 1 & -1 2 & 1 & -1 0 & 1 & -2 416 = 1cdot4 + 1cdot1 + (-1)cdot6[6pt] 2cdot4 + 1cdot1 + (-1)cdot6[6pt] 0cdot4 + 1cdot1 + (-2)cdot6 = 4 + 1 - 6 8 + 1 - 6 0 + 1 -12 = -1 3 -11 ]

Resposta

As coordenadas de vec u na base F são
(4,1,6)E ;=;(-1,,3,,-11)F

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