O baricentro de uma coleção de pontos A1, ldots, An, com pesos não nulos lambda1, ldots, lambdan, é o ponto
G=O+1lambda sumi=1^n lambdai O Ai
onde lambda=sumi=1^n lambdai. Mostre que G não depende de O.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e o que precisamos mostrar. Temos pontos A1,dots,An com pesos lambda1,dots,lambdan, todos não nulos, e definimos
G ;=; O ;+;1lambdasumi=1^nlambdai,O Ai,
onde lambda=sumi=1^nlambdai. O objetivo é provar que esse ponto G não depende da escolha de O, ou seja, se escolhermos um outro ponto O' como origem e definirmos
G' ;=; O' ;+;1lambdasumi=1^nlambdai,O' Ai,
então G'=G.

Passo 2

Escrevemos a relação entre os vetores O' Ai e O Ai. Pela regra da soma de vetores,
O' Ai =O Ai ;-;O O'
Isso vale para cada i=1,dots,n.

Passo 3

Substituímos essa expressão na soma que define G':
sumi=1^nlambdai,O' Ai =sumi=1^nlambdail(O Ai-O O'r) =sumi=1^nlambdai,O Ai ;-;sumi=1^nlambdai,O O'
Como sumi=1^nlambdai=lambda e O O' independe de i, temos
sumi=1^nlambdai,O' Ai =sumi=1^nlambdai,O Ai ;-;lambda,O O'

Passo 4

Agora escrevemos G' e simplificamos:
G' =O' ;+;1lambdasumi=1^nlambdai,O' Ai =O' ;+;1lambdal(sumi=1^nlambdai,O Ai-lambda,O O'r)
Distribuindo tfrac1lambda e usando O'=O+O O', obtemos
G' =O' + 1lambdasumi=1^nlambdai,O Ai ;-;O O' =l(O+O O'r) +1lambdasumi=1^nlambdai,O Ai -O O' =O+1lambdasumi=1^nlambdai,O Ai
Mas o último termo é exatamente a definição de G. Logo G'=G.

Resposta

Mostramos que a fórmula do baricentro produz o mesmo ponto G quer se escolha O quer se escolha O'. Portanto, G não depende da escolha da origem.

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