Calcule o determinante das matrizes abaixo e encontre todos os valores de lambda para os quais o determinante é igual a zero:
det([cclambda-1 & 2 3 & lambda-2]);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 2x2 que depende de um valor λ e depois encontrar todos os valores de λ que fazem esse determinante ser igual a zero. Para isso, vamos usar a regra do determinante para matrizes 2x2 e resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz:
a & b c & d
O determinante é dado por:
det = ad - bc
No nosso caso, a matriz é:
lambda - 1 & 2 3 & lambda - 2
Então, identificamos:
  • a = lambda - 1
  • b = 2
  • c = 3
  • d = lambda - 2

Passo 3

Agora, aplicando a fórmula do determinante:
det = (lambda - 1)(lambda - 2) - (2 times 3)
Vamos calcular passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos multiplicar (lambda - 1) por (lambda - 2):
(lambda - 1)(lambda - 2) = lambda^2 - 2lambda - lambda + 2 = lambda^2 - 3lambda + 2

Passo 5

Agora, subtraímos o produto de 2 e 3:
det = lambda^2 - 3lambda + 2 - 6 = lambda^2 - 3lambda - 4

Passo 6

Queremos encontrar os valores de λ que fazem o determinante igual a zero. Então, montamos a equação:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 7

Para resolver a equação lambda^2 - 3lambda - 4 = 0, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = -3 e c = -4 .

Passo 8

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = (-3)^2 - 4 times 1 times (-4) = 9 + 16 = 25
Como o discriminante é positivo, há duas soluções reais.

Passo 9

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Então, temos duas soluções:
lambda1 = 3 + 52 = 82 = 4
lambda2 = 3 - 52 = -22 = -1

Resposta

Os valores de lambda que tornam o determinante igual a zero são λ = 4 e λ = -1.

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