Usando alguma substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
integral x^3(4 x^2+9)^32 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3l(4x^2+9r)^32,dx
e sugere usar substituição trigonométrica. Como aparece raiz4x^2+9, é natural tomar
x = tfrac32tantheta,
pois assim 4x^2+9 se torna um múltiplo de sec^2theta.

Passo 2

Fazendo
x = tfrac32tantheta, dx = tfrac32sec^2theta,dtheta,
temos
4x^2 + 9 = 4l(tfrac32tanthetar)^2 + 9 = 9tan^2theta + 9 = 9sec^2theta,
logo
raiz4x^2+9 = 3sectheta e x^3 = l(tfrac32tanthetar)^3 = tfrac278tan^3theta

Passo 3

Substituindo tudo na integral,
integral x^3(4x^2+9)^3/2,dx = integral tfrac278tan^3theta ,l(tfrac32sec^2theta,dthetar)(3sectheta)^3 = integral tfrac8116tan^3theta,sec^2theta27sec^3theta,dtheta = 316integral tan^3thetacostheta,dtheta
Como tan^3thetacostheta = tan^2thetasintheta = (sec^2theta-1)sintheta,
316integral tan^3thetacostheta,dtheta = 316integral l(sec^2theta-1r)sintheta,dtheta = 316l(integral sinthetacos^2theta,dtheta - integral sintheta,dthetar)

Passo 4

Calcule cada parte:
  • Para integral sinthetacos^2theta,dtheta, use u=costheta, du=-sintheta,dtheta, logo integral sinthetacos^2theta,dtheta = integral -duu^2 = 1u = sectheta
  • Para integral sintheta,dtheta = -costheta
    Portanto
316l(sectheta -(-costheta)r) = 316l(sectheta + costhetar) + C

Passo 5

Volta à variável x. Como sectheta = raiz4x^2+93 e costheta = tfrac1sectheta = 3raiz4x^2+9, temos
316l(sectheta + costhetar) = 316l(raiz4x^2+93 + 3raiz4x^2+9r) = 116l(raiz4x^2+9 + 9raiz4x^2+9r) + C

Resposta

boxedintegral x^3l(4x^2+9r)^32,dx = 116l(raiz4x^2+9 + 9raiz4x^2+9r) + C

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