Exercício 17. Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição. Isto é, sorteia-se o primeiro (e deixa-o de fora da classe) e depois sorteia-se o segundo alunos. Qual é a probabilidade de:
Pelo menos um ter olhos azuis?
Pelo menos um ter olhos azuis?
Passo 1
Dados do enunciado:
- Há
alunos na classe. - Desses,
têm olhos azuis e, portanto, não têm olhos azuis. - São retirados dois alunos sem reposição: sorteia-se o primeiro (e ele sai da população) e depois sorteia-se o segundo.
Pergunta que o enunciado faz: - Qual é a probabilidade de que, entre os dois alunos sorteados, pelo menos um tenha olhos azuis?
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática):
- É mais simples calcular a probabilidade do evento complementar “nenhum dos dois tem olhos azuis” e então usar a relação entre um evento e seu complementar.
- Regra usada: para qualquer evento
,
onde
é o complementar de
(o acontecimento “A não ocorre”).
- Aqui, se
= “pelo menos um ter olhos azuis”, então = “nenhum ter olhos azuis”. Calculamos e depois fazemos .
Passo 3
Conceito de probabilidade de eventos dependentes e regra do produto:
- Quando tiramos sem reposição, a probabilidade do segundo sorteio depende do resultado do primeiro. A regra geral para dois eventos
e é
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
ocorreu.
- Aplicando isso para “nenhum dos dois ter olhos azuis”: precisamos que o primeiro não tenha olhos azuis e que o segundo também não tenha olhos azuis, dado que o primeiro já foi retirado.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Probabilidade do primeiro aluno NÃO ter olhos azuis:
porque há
alunos sem olhos azuis entre
totais.
- Dado que o primeiro não tinha olhos azuis, sobram
alunos sem olhos azuis entre alunos restantes. Assim,
- Pela regra do produto,
Passo 5
Simplificar a expressão e obter o complementar:
- Multiplicando e simplificando:
- Reduzindo a fração dividindo numerador e denominador por
:
- Agora calculamos a probabilidade pedida usando o complementar:
Passo 6
Finalizar o cálculo:
- Subtraindo:
- Em decimal isso é aproximadamente
, mas a forma exata é preferível.