Exercício 17. Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição. Isto é, sorteia-se o primeiro (e deixa-o de fora da classe) e depois sorteia-se o segundo alunos. Qual é a probabilidade de:
Pelo menos um ter olhos azuis?

Passo 1

Dados do enunciado:
  • 10 alunos na classe.
  • Desses, 3 têm olhos azuis e, portanto, 7 não têm olhos azuis.
  • São retirados dois alunos sem reposição: sorteia-se o primeiro (e ele sai da população) e depois sorteia-se o segundo.
    Pergunta que o enunciado faz:
  • Qual é a probabilidade de que, entre os dois alunos sorteados, pelo menos um tenha olhos azuis?

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática):
  • É mais simples calcular a probabilidade do evento complementar “nenhum dos dois tem olhos azuis” e então usar a relação entre um evento e seu complementar.
  • Regra usada: para qualquer evento A,
P(A)=1-P(A^c),
onde A^c é o complementar de A (o acontecimento “A não ocorre”).
  • Aqui, se A = “pelo menos um ter olhos azuis”, então A^c = “nenhum ter olhos azuis”. Calculamos P(A^c) e depois fazemos P(A)=1-P(A^c).

Passo 3

Conceito de probabilidade de eventos dependentes e regra do produto:
  • Quando tiramos sem reposição, a probabilidade do segundo sorteio depende do resultado do primeiro. A regra geral para dois eventos B e C é
P(B\cap C)=P(B)\,P(C\mid B),
onde P(C\mid B) é a probabilidade de C ocorrer dado que B ocorreu.
  • Aplicando isso para “nenhum dos dois ter olhos azuis”: precisamos que o primeiro não tenha olhos azuis e que o segundo também não tenha olhos azuis, dado que o primeiro já foi retirado.

Passo 4

Calcular P(\text{nenhum azul}) passo a passo:
  • Probabilidade do primeiro aluno NÃO ter olhos azuis:
P(\text{1º não azul})=\frac{7}{10}ºã
porque há 7 alunos sem olhos azuis entre 10 totais.
  • Dado que o primeiro não tinha olhos azuis, sobram 6 alunos sem olhos azuis entre 9 alunos restantes. Assim,
P(\text{2º não azul}\mid \text{1º não azul})=\frac{6}{9}.ºãºã
  • Pela regra do produto,
P(\text{nenhum azul})= \frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}.

Passo 5

Simplificar a expressão e obter o complementar:
  • Multiplicando e simplificando:
\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{42}{90}.
  • Reduzindo a fração dividindo numerador e denominador por 6:
\frac{42}{90}=\frac{7}{15}.
  • Agora calculamos a probabilidade pedida usando o complementar:
P(\text{pelo menos um azul})=1-P(\text{nenhum azul})=1-\frac{7}{15}.

Passo 6

Finalizar o cálculo:
  • Subtraindo:
1-\frac{7}{15}=\frac{15}{15}-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}.
  • Em decimal isso é aproximadamente 0,533\ldots, mas a forma exata \frac{8}{15} é preferível.

Resposta

\frac{8}{15}

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