Exercício 17. Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição. Isto é, sorteia-se o primeiro (e deixa-o de fora da classe) e depois sorteia-se o segundo alunos. Qual é a probabilidade de:
Nenhum ter olhos azuis?

Passo 1

O enunciado diz: na turma há 10 alunos, dos quais 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição (ou seja, tira-se um aluno e não o devolve antes de sortear o segundo). A pergunta é: qual é a probabilidade de que nenhum dos dois sorteados tenha olhos azuis?
Informações relevantes:
  • Total de alunos: 10.
  • Alunos com olhos azuis: 3.
  • Alunos sem olhos azuis: 7 (pois 10-3=7).
  • Sorteio sem reposição de dois alunos (a ordem importa para a contagem condicional, mas o evento final é que ambos não sejam azuis).
    A partir daqui vamos calcular a probabilidade pedida.

Passo 2

Vamos usar a ideia básica de probabilidade em etapas (regra do produto com probabilidade condicional). Primeiro escolhemos o primeiro aluno; depois, dado que foi escolhido um certo tipo (não azul), escolhemos o segundo. A regra que usaremos é:
P(\text{A e B}) = P(\text{A}) \cdot P(\text{B} \mid \text{A}),
onde P(\text{B} \mid \text{A}) é a probabilidade de ocorrer B sabendo que A já aconteceu.

Passo 3

Explicando o que é P(\text{B} \mid \text{A}) (probabilidade condicional) de forma simples: é a probabilidade de B quando sabemos que A já ocorreu e, por isso, o espaço amostral foi alterado. No nosso caso:
  • Evento A: o primeiro aluno NÃO tem olhos azuis.
  • Evento B: o segundo aluno NÃO tem olhos azuis, dado que o primeiro também não tinha.

Passo 4

Calculamos P(\text{A}), a probabilidade de o primeiro aluno não ter olhos azuis. Há 7 não-azuis entre 10 alunos, logo
P(\text{A}) = \frac{7}{10}.

Passo 5

Agora calculamos P(\text{B} \mid \text{A}). Se o primeiro sorteado não tem olhos azuis, sobram 9 alunos no total e, desses, 6 não têm olhos azuis (porque tiramos um dos 7). Então
P(\text{B} \mid \text{A}) = \frac{6}{9}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
P(\text{nenhum dos dois ser azul}) = P(\text{A})\cdot P(\text{B}\mid\text{A}) = \frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}.

Passo 7

Fazendo as contas e simplificando a fração:
\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}.

Passo 8

Para reforçar (verificação alternativa): pelo argumento combinatório, o número de maneiras de escolher 2 alunos sem olhos azuis dentre os 7 é \binom{7}{2} e o número total de maneiras de escolher 2 alunos dentre 10 é \binom{10}{2}. Calculando:
\frac{\binom{7}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{\frac{7\cdot6}{2}}{\frac{10\cdot9}{2}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{7}{15}

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