Exercício 17. Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição. Isto é, sorteia-se o primeiro (e deixa-o de fora da classe) e depois sorteia-se o segundo alunos. Qual é a probabilidade de:
Nenhum ter olhos azuis?
Nenhum ter olhos azuis?
Passo 1
O enunciado diz: na turma há
alunos, dos quais
têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição (ou seja, tira-se um aluno e não o devolve antes de sortear o segundo). A pergunta é: qual é a probabilidade de que nenhum dos dois sorteados tenha olhos azuis?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Total de alunos:
. - Alunos com olhos azuis:
. - Alunos sem olhos azuis:
(pois ). - Sorteio sem reposição de dois alunos (a ordem importa para a contagem condicional, mas o evento final é que ambos não sejam azuis).
A partir daqui vamos calcular a probabilidade pedida.
Passo 2
Vamos usar a ideia básica de probabilidade em etapas (regra do produto com probabilidade condicional). Primeiro escolhemos o primeiro aluno; depois, dado que foi escolhido um certo tipo (não azul), escolhemos o segundo. A regra que usaremos é:
onde
é a probabilidade de ocorrer B sabendo que A já aconteceu.
Passo 3
Explicando o que é
(probabilidade condicional) de forma simples: é a probabilidade de B quando sabemos que A já ocorreu e, por isso, o espaço amostral foi alterado. No nosso caso:
- Evento A: o primeiro aluno NÃO tem olhos azuis.
- Evento B: o segundo aluno NÃO tem olhos azuis, dado que o primeiro também não tinha.
Passo 4
Calculamos
, a probabilidade de o primeiro aluno não ter olhos azuis. Há
não-azuis entre
alunos, logo
Passo 5
Agora calculamos
. Se o primeiro sorteado não tem olhos azuis, sobram
alunos no total e, desses,
não têm olhos azuis (porque tiramos um dos
). Então
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Fazendo as contas e simplificando a fração:
Passo 8
Para reforçar (verificação alternativa): pelo argumento combinatório, o número de maneiras de escolher 2 alunos sem olhos azuis dentre os
é
e o número total de maneiras de escolher 2 alunos dentre
é
. Calculando:
o que confirma o resultado anterior.