Exercício 17. Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição. Isto é, sorteia-se o primeiro (e deixa-o de fora da classe) e depois sorteia-se o segundo alunos. Qual é a probabilidade de:
Ambos terem olhos azuis?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • 10 alunos no total.
  • Desses, 3 têm olhos azuis e, portanto, 7 não têm olhos azuis.
  • São retirados 2 alunos sem reposição: primeiro sorteia-se um aluno e ele fica de fora; depois sorteia-se um segundo aluno entre os que restaram.
    O que se pede: calcular a probabilidade de que ambos os alunos sorteados tenham olhos azuis.

Passo 2

Vou usar a regra do produto para eventos dependentes (a forma mais direta aqui). Essa regra diz que, para dois eventos A e B, a probabilidade de ocorrerem os dois é
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).
Expliquei essa escolha porque o sorteio sem reposição torna o segundo evento dependente do primeiro (o resultado do primeiro altera as chances do segundo). Essa é a forma mais básica e rápida para este tipo de problema.

Passo 3

Definimos os eventos de forma clara:
  • A: “o primeiro aluno sorteado tem olhos azuis”.
  • B: “o segundo aluno sorteado tem olhos azuis”.
    Pela fórmula do passo anterior, queremos P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A). Aqui P(B\mid A) é a probabilidade do segundo ser azul dado que o primeiro foi azul.

Passo 4

Calcular P(A) (a probabilidade do primeiro ser azul). Há 3 alunos com olhos azuis entre 10 alunos no total, então
P(A)=\frac{3}{10}.
Isto vem do raciocínio clássico: número de casos favoráveis ( 3) dividido pelo número total de casos possíveis ( 10).

Passo 5

Calcular P(B\mid A) (a probabilidade do segundo ser azul sabendo que o primeiro foi azul). Como não há reposição, se o primeiro foi azul restam 2 alunos com olhos azuis entre os 9 alunos restantes. Portanto
P(B\mid A)=\frac{2}{9}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}.
Simplificando a fração \dfrac{6}{90} dividindo numerador e denominador por 6, obtemos
\frac{6}{90}=\frac{1}{15}.

Passo 7

Para reforçar (modo alternativo — combinatório / hipergeométrico): o número de formas de escolher 2 alunos azuis dentre os 3 é \binom{3}{2}=3. O número total de formas de escolher 2 alunos dentre 10 é \binom{10}{2}=45. Assim a probabilidade é
\frac{\binom{3}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15},
o mesmo resultado, o que confirma a resposta. (Aqui \binom{n}{k} é o número de combinações de n elementos tomados k a k.)

Passo 8

Se quiser a aproximação decimal para ter uma ideia numérica:
\frac{1}{15}=0,06\overline{6}.
Força aí — essa tipo de questão cai muito em prova e a técnica é sempre a mesma: pensar em eventos e usar P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A). Você já consegue aplicar isso em qualquer problema parecido.

Resposta

\dfrac{1}{15}
0,06\overline{6}

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