Exercício 17. Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. São retirados dois alunos sem reposição. Isto é, sorteia-se o primeiro (e deixa-o de fora da classe) e depois sorteia-se o segundo alunos. Qual é a probabilidade de:
Ambos terem olhos azuis?
Ambos terem olhos azuis?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Há
alunos no total. - Desses,
têm olhos azuis e, portanto, não têm olhos azuis. - São retirados
alunos sem reposição: primeiro sorteia-se um aluno e ele fica de fora; depois sorteia-se um segundo aluno entre os que restaram.
O que se pede: calcular a probabilidade de que ambos os alunos sorteados tenham olhos azuis.
Passo 2
Vou usar a regra do produto para eventos dependentes (a forma mais direta aqui). Essa regra diz que, para dois eventos
e
, a probabilidade de ocorrerem os dois é
Expliquei essa escolha porque o sorteio sem reposição torna o segundo evento dependente do primeiro (o resultado do primeiro altera as chances do segundo). Essa é a forma mais básica e rápida para este tipo de problema.
Passo 3
Definimos os eventos de forma clara:
-
: “o primeiro aluno sorteado tem olhos azuis”. -
: “o segundo aluno sorteado tem olhos azuis”.
Pela fórmula do passo anterior, queremos. Aqui é a probabilidade do segundo ser azul dado que o primeiro foi azul.
Passo 4
Calcular
(a probabilidade do primeiro ser azul). Há
alunos com olhos azuis entre
alunos no total, então
Isto vem do raciocínio clássico: número de casos favoráveis (
) dividido pelo número total de casos possíveis (
).
Passo 5
Calcular
(a probabilidade do segundo ser azul sabendo que o primeiro foi azul). Como não há reposição, se o primeiro foi azul restam
alunos com olhos azuis entre os
alunos restantes. Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
, obtemos
Passo 7
Para reforçar (modo alternativo — combinatório / hipergeométrico): o número de formas de escolher
alunos azuis dentre os
é
. O número total de formas de escolher
alunos dentre
é
. Assim a probabilidade é
o mesmo resultado, o que confirma a resposta. (Aqui
é o número de combinações de
elementos tomados
a
.)
Passo 8
Se quiser a aproximação decimal para ter uma ideia numérica:
Força aí — essa tipo de questão cai muito em prova e a técnica é sempre a mesma: pensar em eventos e usar
. Você já consegue aplicar isso em qualquer problema parecido.