Exercício 18. Em uma reunião familiar reuniu-se diferentes pessoas e, destas pessoas, 35 \% estão contaminadas por COVID-19 e consideradas como “casos ativos”. Foi observado que das pessoas contaminadas, 15 \% utilizavam máscara e o restante não usava. Das pessoas não contaminadas, 15 \% não utilizavam máscara. Qual é a probabilidade de sortear uma pessoa que esteja utilizando máscara? (R: 60.5%)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de sortear uma pessoa que esteja utilizando máscara.
Informações dadas (vou listar exatamente como estão no enunciado):
  • 35\% das pessoas estão contaminadas por COVID-19 (vou chamar esse evento de C).
  • Das pessoas contaminadas, 15\% utilizavam máscara (ou seja, P(M\mid C)=15\%, onde M é o evento “usa máscara”).
  • Das pessoas não contaminadas, 15\% não utilizavam máscara (ou seja, P(\text{não }M\mid \overline{C})=15\%ã).
    Pergunta clara: qual é P(M), a probabilidade de sortear uma pessoa que esteja usando máscara?

Passo 2

Entendendo as probabilidades condicionais e a regra da probabilidade total (a ideia que vamos usar).
  • P(M\mid C) significa: probabilidade de a pessoa usar máscara dado que ela está contaminada.
  • P(M\mid \overline{C}) significa: probabilidade de a pessoa usar máscara dado que ela não está contaminada.
    A regra da probabilidade total diz que, se os eventos C e \overline{C} formam uma partição do espaço (ou seja, ou a pessoa está contaminada ou não), então
P(M)=P(M\mid C)\,P\text{(C)}+P(M\mid \overline{C})\,P(\overline{C}).
Vou explicar: isso soma a contribuição de quem usa máscara dentro do grupo dos contaminados e a contribuição dentro do grupo dos não contaminados — é como juntar dois pedaços para obter o total.

Passo 3

Converter as porcentagens em probabilidades (decimal) e encontrar P(\overline{C}).
  • P\text{(C)}=35\%= \,0,35.
  • P(M\mid C)=15\%= \,0,15.
  • Do enunciado temos P(\text{não }M\mid \overline{C})=15\%=ã \,0,15. Então
P(M\mid \overline{C})=1-P(\text{não }M\mid \overline{C})=1-0,15=0,85.ã
  • P(\overline{C})=1-P\text{(C)}=1-0,35=0,65.

Passo 4

Aplicar a fórmula da probabilidade total substituindo os valores. Vou escrever a fórmula e depois calcular cada termo:
P(M)=P(M\mid C)\,P\text{(C)}+P(M\mid \overline{C})\,P(\overline{C}).
Substituindo:
P(M)=0,15\cdot 0,35 + 0,85\cdot 0,65.

Passo 5

Fazer as multiplicações passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro termo: 0,15\cdot 0,35.
    • 15\% de 35\% é 0{,}15\times0{,}35=0{,}0525.
  • Segundo termo: 0,85\cdot 0,65.
    • 85\% de 65\% é 0{,}85\times0{,}65=0{,}5525.
Agora somo os dois termos:
P(M)=0{,}0525+0{,}5525=0{,}605.

Passo 6

Interpretar o resultado em porcentagem e com um exemplo intuitivo.
  • 0{,}605 em porcentagem é 60{,}5\%.
    Exemplo com 100 pessoas (intuição): entre 100 pessoas, 35 estão contaminadas; dessas 35, 15\% usam máscara → 35\times0{,}15=5{,}25 pessoas (pode ser fracionado no cálculo idealizado). Entre as 65 não contaminadas, 85\% usam máscara → 65\times0{,}85=55{,}25. Total que usam máscara =5{,}25+55{,}25=60{,}5 em 100 pessoas, ou seja 60{,}5\%.

Resposta

60{,}5\%

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