Exercício 17. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 2,6) Ache a distância máxima e mínima de um ponto a origem quando:
Ele pertence a curva
.
Ele pertence a curva
Passo 1
O enunciado pede a distância máxima e mínima da origem ao ponto
sujeito à curva
O conteúdo é otimização com restrição, que vamos tratar usando multiplicadores de Lagrange para minimizar e maximizar
sob a condição
Passo 2
Calculamos os gradientes de
e
:
Passo 3
O método de Lagrange impõe
isto é, o sistema
Passo 4
Multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
e subtraindo, obtemos
logo
não dá solução viável e resta
Passo 5
Substituímos
em
, obtendo
e
. Assim os pontos são
com o mesmo sinal.
Substituímos em
, obtendo
e
. Assim os pontos são
.
Substituímos
Passo 6
Em cada caso a distância é
Para
temos
.
Para temos
.
Para
Resposta
Distância mínima:
.
Distância máxima: .
Distância máxima: