Exercício 17. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 2,6) Ache a distância máxima e mínima de um ponto a origem quando:
Ele pertence a curva 5 x^2+6 x y+5 y^2=8 em R^2.

Passo 1

O enunciado pede a distância máxima e mínima da origem ao ponto (x,y) sujeito à curva
5x^2+6xy+5y^2=8
O conteúdo é otimização com restrição, que vamos tratar usando multiplicadores de Lagrange para minimizar e maximizar
f(x,y)=x^2+y^2
sob a condição
g(x,y)=5x^2+6xy+5y^2-8=0

Passo 2

Calculamos os gradientes de f e g:
nabla f=(2x,2y),
nabla g=(10x+6y,,6x+10y)

Passo 3

O método de Lagrange impõe
nabla f=lambda,nabla g,
isto é, o sistema
2x=lambda(10x+6y),
2y=lambda(6x+10y),
5x^2+6xy+5y^2=8

Passo 4

Multiplicando a primeira equação por y e a segunda por x e subtraindo, obtemos
0=6lambda,(y^2-x^2),
logo lambda=0 não dá solução viável e resta
y^2=x^2Longrightarrow y=pm x

Passo 5

Substituímos y=x em 5x^2+6x^2+5x^2=8, obtendo 16x^2=8 e x^2=tfrac12. Assim os pontos são
l(pmtfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2r) com o mesmo sinal.
Substituímos y=-x em 5x^2-6x^2+5x^2=8, obtendo 4x^2=8 e x^2=2. Assim os pontos são
l(pmraiz2,mpraiz2r).

Passo 6

Em cada caso a distância é
rho=raizx^2+y^2
Para y=x temos rho=raiztfrac12+tfrac12=1.
Para y=-x temos rho=raiz2+2=2.

Resposta

Distância mínima: 1.
Distância máxima: 2.

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