Problema 43 Encontre o MDC de
e
.
Passo 1
O enunciado pede o máximo divisor comum de
e
. Este é um problema de teoria dos números, envolvendo propriedades de divisibilidade de potências. Para resolver vamos usar a fórmula geral para
.
Passo 2
Propriedade: para inteiro
e inteiros positivos
, vale
Este resultado decorre do algoritmo de Euclides aplicado às expressões
e
, reduzindo repetidamente o expoente até
.
Passo 3
Calculamos agora
pelo algoritmo de Euclides. Como
, temos
Em seguida,
, logo
Passo 4
Aplicando a propriedade com
,
e
, obtemos
Passo 5
Finalmente, calculamos
. Sabemos que
portanto
Resposta
O máximo divisor comum de
e
é
.