Problema 40 A raiz real da equação x+log (1+2^x)=x log 5+log 6 pertence ao intervalo:
a) [-3,-2]
b) [-1,0]
c) [1,2]
d) [3,4]
e) [5,6]

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz real de
x + logl(1 + 2^xr) ;=; x,log 5 ;+; log 6
onde log é o logaritmo decimal (base 10). Vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais para resolver explicitamente.

Passo 2

Reescrevemos cada lado como logaritmo de um produto. Note que
;x = log(10^x). Assim, o lado esquerdo fica
x + logl(1 + 2^xr) = log(10^x) + logl(1 + 2^xr) = log!l(10^x,(1 + 2^x)r),
e o direito
x,log 5 + log 6 = logl(5^xr) + log 6 = log!l(6cdot 5^xr)

Passo 3

Como log A = log B implica A=B, igualamos os argumentos:
10^x,(1 + 2^x) ;=; 6cdot 5^x
Escrevendo 10^x=(2cdot5)^x=2^x,5^x, temos
2^x,5^x,(1+2^x)=6,5^x ;Longrightarrow; 2^x,(1+2^x)=6
Defina t=2^x>0. A equação vira
t(1+t)=6 ;Longrightarrow; t^2 + t -6 = 0 ;Longrightarrow; t=2(descartamos t=-3)
Logo 2^x=2 implica x=1.

Passo 4

Não há outra solução real além de x=1. Como 1 pertence ao intervalo [1,2], a alternativa correta é a letra (c).

Resposta

(c) [1,2]

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