Exercício 17. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 2,6) Ache a distância máxima e mínima de um ponto a origem quando:
Ele pertence a superfície
.
Ele pertence a superfície
Passo 1
O problema pede para encontrar os pontos da superfície
que minimizam ou maximizam a distância à origem. Vamos trabalhar com a função
pois minimizar/maximizar a distância
é equivalente a minimizar/maximizar
.
Passo 2
Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange, isto é, exigimos
Calculamos os gradientes:
Logo o sistema é
Passo 3
Caso
: da terceira equação vem
.
Então as duas primeiras dão
Então as duas primeiras dão
que juntos levam a
e
. Da restrição
obtemos
.
Passo 4
Caso
: da restrição sai
.
As duas primeiras equações valem
As duas primeiras equações valem
Multiplicando membro a membro e usando
obtém-se
.
Para chega-se a
e, junto com
, às soluções
Para
Para
não há solução real.
Passo 5
Agora avaliamos
nesses pontos:
Logo as distâncias são
Porém a superfície não é compacta (pode-se fazer
crescer), logo \emph{não existe} distância máxima finita:
.
Resposta
A distância mínima é
, atingida em
.
Não há distância máxima finita (a superfície é não compacta); há pontos críticos de valor local em
e
.
Não há distância máxima finita (a superfície é não compacta); há pontos críticos de valor local