Exercício 17. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 2,6) Ache a distância máxima e mínima de um ponto a origem quando:
Ele pertence a superfície z^2-x y=1 em R^3.

Passo 1

O problema pede para encontrar os pontos da superfície
g(x,y,z)=z^2-xy-1=0
que minimizam ou maximizam a distância à origem. Vamos trabalhar com a função
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,
pois minimizar/maximizar a distância d é equivalente a minimizar/maximizar d^2=f.

Passo 2

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange, isto é, exigimos
nabla f=lambda,nabla g
Calculamos os gradientes:
nabla f=(2x,,2y,,2z), nabla g=(-y,,-x,,2z)
Logo o sistema é
2x=-lambda y, 2y=-lambda x, 2z=2lambda z, z^2-xy=1

Passo 3

Caso zneq0: da terceira equação vem 2z=2lambda zimplieslambda=1.
Então as duas primeiras dão
2x=-y, 2y=-x,
que juntos levam a x=0 e y=0. Da restrição z^2-0cdot0=1 obtemos
(x,y,z)=(0,0,pm1).

Passo 4

Caso z=0: da restrição sai -xy=1implies y=-tfrac1x.
As duas primeiras equações valem
2x=-lambda y, 2y=-lambda x
Multiplicando membro a membro e usando xy=-1 obtém-se lambda^2=4.
Para lambda=2 chega-se a x=-y e, junto com xy=-1, às soluções
(x,y,z)=(1,-1,0)e(-1,1,0)
Para lambda=-2 não há solução real.

Passo 5

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(0,0,pm 1)=1, f(pm 1,mp 1,0)=2
Logo as distâncias são
dmin=raiz1=1, d(pm 1,mp 1,0)=raiz2
Porém a superfície não é compacta (pode-se fazer x,y,z crescer), logo \emph{não existe} distância máxima finita: dtoinfty.

Resposta

A distância mínima é 1, atingida em (0,0,pm1).
Não há distância máxima finita (a superfície é não compacta); há pontos críticos de valor local raiz2 em (1,-1,0) e (-1,1,0).

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