Problema 44 Encontre o último algarismo do número 13144^13144.

Passo 1

O enunciado pede o último dígito de 13144^13144. Isso equivale a calcular
13144^13144bmod 10,
ou seja, trabalhar com aritmética modular módulo 10 e explorar o ciclo de última casa decimal das potências de um número.

Passo 2

Reduzimos a base módulo 10:
13144 bmod 10 = 4
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13144^13144bmod 10 ;=;4^13144bmod 10

Passo 3

Analisamos as potências de 4 módulo 10 para identificar o ciclo:
4^1 = 4 bmod 10, 4^2 = 16 equiv 6 bmod 10,
4^3 = 4cdot6=24equiv4 bmod 10, 4^4=4cdot4=16equiv6bmod10,
ou seja, a sequência de 4^nbmod10 é 4,6,4,6,dots de período 2.

Passo 4

Como o ciclo tem comprimento 2, basta ver se o expoente 13144 é par ou ímpar. Como
13144 é par, é
o valor no segundo termo do ciclo (que corresponde a potências pares) é 6.

Resposta

6

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