Exercício 17. (Apostol, capítulo 8.17, exercício 1) Seja
, em que
e
são diferenciáveis.
a) Mostre que
.
b) Calcule
.
a) Mostre que
b) Calcule
Passo 1
O enunciado define
onde
e
são diferenciáveis.
Conteúdo: regra da cadeia para funções de várias variáveis (para a parte a) e, em seguida, derivação do resultado com regra do produto e nova aplicação da cadeia (para a parte b).
Conteúdo: regra da cadeia para funções de várias variáveis (para a parte a) e, em seguida, derivação do resultado com regra do produto e nova aplicação da cadeia (para a parte b).
Passo 2
Para mostrar
lembre que, por diferenciabilidade de
, o diferencial total em
é
Tomando
obtemos exatamente
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
onde, para abreviar, avaliamos todos os termos em
.
Aplicando a regra do produto em cada parcela e, nas derivadas de e
, usando novamente a cadeia, obtemos
Aplicando a regra do produto em cada parcela e, nas derivadas de
Reagrupando os termos em potência de
e
resulta