Exercício 17. (Apostol, capítulo 8.17, exercício 1) Seja u(t)=f(x(t), y(t)), em que f: R^2 R, x: R R e y: R R são diferenciáveis.
a) Mostre que d ud t(t)=partial fpartial x x^prime(t)+partial fpartial y y^prime(t).
b) Calcule d^2 ud t^2(t).

Passo 1

O enunciado define
u(t)=fl(x(t),y(t)r),
onde fcolonR^2toR e x,ycolonRtoR são diferenciáveis.
Conteúdo: regra da cadeia para funções de várias variáveis (para a parte a) e, em seguida, derivação do resultado com regra do produto e nova aplicação da cadeia (para a parte b).

Passo 2

Para mostrar
dudt(t) =partial fpartial xl(x(t),y(t)r),x'(t) +partial fpartial yl(x(t),y(t)r),y'(t),
lembre que, por diferenciabilidade de f, o diferencial total em (x,y) é
Df(x,y),[h,k] =partial fpartial x(x,y),h +partial fpartial y(x,y),k
Tomando (h,k)=(x'(t),y'(t)) obtemos exatamente
u'(t) = Dfl(x(t),y(t)r)l[x'(t),y'(t)r] =partial fpartial x,x'(t) +partial fpartial y,y'(t)

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada
d^2udt^2(t) =ddtgl[ partial fpartial x,x' +partial fpartial y,y' gr],
onde, para abreviar, avaliamos todos os termos em l(x(t),y(t)r).
Aplicando a regra do produto em cada parcela e, nas derivadas de partial fpartial x e partial fpartial y, usando novamente a cadeia, obtemos
d^2udt^2 &= l(partial^2 fpartial x^2,x' +partial^2 fpartial ypartial x,y'r)x' +partial fpartial x,x'' &+ l(partial^2 fpartial xpartial y,x' +partial^2 fpartial y^2,y'r)y' +partial fpartial y,y''
Reagrupando os termos em potência de x' e y' resulta

Resposta

boxed dudt =partial fpartial x,x' +partial fpartial y,y',
boxed d^2udt^2 =partial^2 fpartial x^2,(x')^2 +2,partial^2 fpartial xpartial y,x',y' +partial^2 fpartial y^2,(y')^2 +partial fpartial x,x'' +partial fpartial y,y''

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