Problema 16 Um jardim de forma retangular tem 96 m^2 de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a ter 150 m^2. Calcule as dimensões originais do jardim.

Passo 1

O enunciado nos diz que um jardim retangular tem área original de 96 m^2. Ao aumentar o comprimento em 3 m e a largura em 2 m, a área passa a ser 150 m^2.
Definimos:
L = comprimento original, W = largura original
As equações são
Lcdot W = 96
(L+3)(W+2) = 150

Passo 2

Expandimos a segunda equação e usamos LW=96:
(L+3)(W+2)=LW+2L+3W+6=150
Portanto
96 + 2L + 3W + 6 = 150
2L + 3W + 102 = 150
2L + 3W = 48

Passo 3

Isolamos L em função de W e substituímos em LW=96:
2L = 48 - 3Wimplies L = 48 - 3W2
48 - 3W2,W = 96implies 48W - 3W^2 = 192implies W^2 - 16W + 64 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
W^2 - 16W + 64 = 0
O discriminante é
De<a = 16^2 - 4cdot1cdot64 = 256 - 256 = 0,
logo
W = 162 = 8
Então
L = 96W = 968 = 12
Escolhemos as soluções positivas.

Resposta

O comprimento original é 12 m e a largura original é 8 m.

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