Exercício 17. (Apostol seção 4.10 exercícios 2) Em cada um dos casos abaixo, ache uma matriz C in Mn(R) tal que C^-1 A C é uma matriz diagonal ou explique por que uma tal matriz não existe.
A=(ll1 & 0 1 & 3),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz de mudança de base Cin M2(R) tal que
C^-1AC
seja diagonal. Aqui o conteúdo é diagonalização de matrizes, que exige encontrar 2 autovalores e 2 autovetores linearly independentes de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de
A = 1 & 0 [6pt] 1 & 3
pela fórmula det(A-lambda I):
detl(A-lambda Ir) = det1-lambda & 0 [3pt] 1 & 3-lambda = (1-lambda)(3-lambda),
Logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=3, distintos.]

Passo 3

Para resolvemos
Da segunda linha vem , ou seja . Tomando , um autovetor correspondente é
]

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira linha vem , logo e é livre. Escolhendo , um autovetor é
]

Passo 5

Os vetores v^(1) e v^(2) são independentes, então formamos
C = l[v^(1);;v^(2)r] = -2 & 0 [3pt] 1 & 1
Como C leva a base canônica na base de autovetores, temos
C^-1AC = 1 & 0[3pt]0 & 3,
que é diagonal.]

Resposta

A matriz
C = -2 & 0 [3pt] 1 & 1
satisfaz C^-1AC = diag(1,3).]

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