Uma partícula se desloca ao longo do eixo-x com velocidade v(t)=d xd t=f(2^x(t)), onde f e x são funções diferenciáveis. Calcule a aceleração a(t)=d vd t em t=1, sabendo que x(1)=3, f^prime(8)=-2 e f(8)=2.

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade é
v(t)=dxdt=fl(2^x(t)r)
e pede a aceleração a(t)=dvdt em t=1, sabendo que x(1)=3, f'(8)=-2 e f(8)=2. Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de uma exponencial.

Passo 2

Para calcular a aceleração aplicamos a regra da cadeia a v(t)=f(2^x(t)), ou seja,
a(t)=dvdt=f'l(2^x(t)r),ddtl(2^x(t)r)

Passo 3

Derivando 2^x(t) pelo tempo:
ddtl(2^x(t)r) =2^x(t)ln2;dxdt =2^x(t)ln2;v(t)

Passo 4

Substituindo em a(t), obtemos a fórmula geral
a(t)=f'l(2^x(t)r);2^x(t)ln2;v(t)

Passo 5

Em t=1: x(1)=3implies2^x(1)=8, v(1)=f(8)=2 e f'(8)=-2. Logo
a(1)=(-2)cdot8ln2cdot2=-32ln2

Resposta

-32ln2

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