Exercício 17. (Apostol seção 4.10 exercícios 2) Em cada um dos casos abaixo, ache uma matriz C in Mn(R) tal que C^-1 A C é uma matriz diagonal ou explique por que uma tal matriz não existe.
A=(cc2 & 1 -1 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 1 [-6pt] -1 & 0
é diagonalizável sobre R, ou seja, se existe uma matriz inversível C tal que C^-1AC seja diagonal. Para isso, precisamos calcular os autovalores de A (polinômio característico) e depois examinar as dimensões dos respectivos autespaços.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = 2-lambda & 1 [-4pt] -1 & -lambda = (2-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 - 2lambda + 1 = (lambda - 1)^2
Logo, o único autovalor é lambda = 1, com multiplicidade algébrica igual a 2.]

Passo 3

Para cada autovalor
Impondo , escrevemos o sistema
que é equivalente a , pois há apenas um grau de liberdade (por exemplo, gera todo o autespaço).]

Passo 4

Como a multiplicidade algébrica de lambda=1 é 2 e a sua multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) é 1, não conseguimos encontrar duas direções independentes de autovetores. Portanto, A não é diagonalizável sobre R (nem sobre C).

Resposta

Não existe matriz inversível Cin M2(R) tal que C^-1AC seja diagonal, porque o único autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2 mas seu autespaço tem dimensão 1.

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