Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime prime-6 y^prime prime+11 y^prime-6 y=2 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 2x e^-x
O conteúdo aqui é o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD): primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois um particular por “chute” ajustando coeficientes.

Passo 2

Encontramos a solução da parte homogênea resolvendo a equação característica
r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0
Fatorando em raízes inteiras, vemos que
r=1,2,3
são zeros, pois
(r-1)(r-2)(r-3)=r^3-6r^2+11r-6
Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^3x

Passo 3

O termo não-homogêneo é 2x e^-x, que é um polinômio de grau 1 vezes e^-x. Como e^-x não coincide com nenhuma raiz da característica, propomos
yp = (A x + B)e^-x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp &= (A x + B)e^-x, yp' &= (-A x + (A - B))e^-x, yp'' &= (A x + (-2A + B))e^-x, yp''' &= (-A x + (3A - B))e^-x
Substituindo em y'''-6y''+11y'-6y e coletando em e^-x obtemos
(-24A)x + (26A -24B)
devendo igualar a 2x + 0. Assim
-24A = 2Longrightarrow A = -tfrac112,
26A -24B = 0Longrightarrow -tfrac2612 -24B =0 Longrightarrow B = -tfrac13144
Logo
yp = l(-tfracx12 - tfrac13144r)e^-x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^3x + l(-tfracx12 - tfrac13144r)e^-x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^3x -l(tfracx12 + tfrac13144r)e^-x

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