Exercício 18. (Apostol seção 13.18 exercício 2) Um estudante faz uma prova com 10 questões verdadeiro ou falso, porém não estudou nada e escolhe as respostas aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade de que ele acerte ao menos 5 questões?
b) Qual a probabilidade de que ele acerte ao menos 9 questões?
c) Qual é o menor
tal que a probabilidade de acertar ao menos
corretas é menor do que
?
a) Qual a probabilidade de que ele acerte ao menos 5 questões?
b) Qual a probabilidade de que ele acerte ao menos 9 questões?
c) Qual é o menor
Passo 1
O enunciado diz que o estudante responde aleatoriamente 10 questões de verdadeiro ou falso, logo a probabilidade de acerto em cada questão é
e o número de acertos
segue a distribuição binomial
Precisamos encontrar
a) ,
b) ,
c) o menor inteiro tal que
.
a)
b)
c) o menor inteiro
Passo 2
Em um ensaio binomial com parâmetros
e
, vale
Aqui
e
, portanto
Passo 3
Para a) usamos
ou, pelo complemento,
Como
, obtemos
Passo 4
Para b) calculamos
e portanto
Passo 5
Para c) testamos caudas:
- Para
, . - Para
, pela simetria .
Logo o menorque faz é .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)