Exercício 18. (Apostol seção 13.18 exercício 2) Um estudante faz uma prova com 10 questões verdadeiro ou falso, porém não estudou nada e escolhe as respostas aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade de que ele acerte ao menos 5 questões?
b) Qual a probabilidade de que ele acerte ao menos 9 questões?
c) Qual é o menor n tal que a probabilidade de acertar ao menos n corretas é menor do que 12 ?

Passo 1

O enunciado diz que o estudante responde aleatoriamente 10 questões de verdadeiro ou falso, logo a probabilidade de acerto em cada questão é p=tfrac12 e o número de acertos X segue a distribuição binomial
Xsim Bin(10,tfrac12)
Precisamos encontrar
a) P(X>=5),
b) P(X>=9),
c) o menor inteiro n tal que P(X>= n)<tfrac12.

Passo 2

Em um ensaio binomial com parâmetros n e p, vale
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k
Aqui n=10 e p=tfrac12, portanto
P(X=k)=binom10kl(tfrac12r)^10

Passo 3

Para a) usamos
P(X>=5)=sumk=5^10binom10kl(tfrac12r)^10
ou, pelo complemento,
P(X>=5)=1-P(X<=4)=1-sumk=0^4binom10kl(tfrac12r)^10
Como sumk=0^4binom10k=1+10+45+120+210=386, obtemos
P(X>=5)=1-3862^10=1-3861024=6381024=319512approx0,623

Passo 4

Para b) calculamos
P(X>=9)=binom109l(tfrac12r)^10+binom1010l(tfrac12r)^10
e portanto
P(X>=9)=10+11024=111024approx0,0107

Passo 5

Para c) testamos caudas:
  • Para n=5, P(X>=5)approx0,623>0,5.
  • Para n=6, pela simetria P(X>=6)=P(X<=4)=tfrac3861024=tfrac193512approx0,377<0,5.
    Logo o menor n que faz P(X>= n)<tfrac12 é 6.

Resposta

(a) 319512
(b) 111024
(c) 6

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