Exercício 1.17. Assinale Verdadeiro ou Falso, justificando suas respostas:
( ) Se
converge e
, para todo
, então
converge.
( ) Suponha que
, para todo
e que
, então
diverge.
( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
diverge.
( )
diverge então
diverge.
( ) Se
( ) Suponha que
( ) Sejam
( )
Passo 1
Vou organizar claramente o que o exercício pede e as informações dadas (cada linha é um dos itens a avaliar como Verdadeiro ou Falso, com a hipótese indicada):
- Item (1): Dado que
converge e para todo , analisar se então converge. - Item (2): Suponha
para todo e que . Analisar se então diverge. - Item (3): Sejam
e polinômios com coeficientes inteiros e tal que para . Se o grau de for menor que o de , analisar se diverge. - Item (4): Analisar se da divergência de
segue que também diverge.
Estas são as quatro perguntas; a seguir vou tratar cada uma passo a passo, explicando as ideias usadas (testes padrão, contraexemplos, p-séries, etc.), com bastante detalhe para você entender e conseguir reproduzir algo parecido na prova.
Passo 2
Item (1). Primeira ideia importante (ferramenta usada): uma condição necessária para a convergência de uma série
é que os termos vão a zero, isto é, se
converge então
. Mas essa condição não é suficiente para transformações não-lineares dos termos (como a raiz quadrada): o fato de
não garante que
seja summável.
Vou construir um contraexemplo simples e clássico (mostrando que a afirmação é falsa). Escolho
- Explico por que
converge: é uma p-série com expoente . Lembrete do teste p-série: a série converge se, e somente se, . - Agora calcule
. - A série
é a série harmônica, que diverge (é a p-série com , que diverge).
Conclusão do contraexemplo: temos
convergente e
, mas
diverge. Portanto o item (1) é falso.
Dica prática para prova: quando alguém afirma que algum operador monotônico (como raiz, potência, log, etc.) preserva convergência, desconfie e tente um exemplo com p‑séries porque elas fornecem escalações fáceis para testar.
Passo 3
Item (2). Ferramenta básica: para uma série
convergir, é necessário que
. Isso é direto da definição da soma parcial convergente: se
converge para
então
.
Aqui o enunciado diz que
e
. Como o limite dos termos não é zero (é igual a
), a série não pode convergir — então ela diverge.
Conclusão: o item (2) é verdadeiro.
Comentário didático: esse é o teste mais simples e mais usado para descartar convergência rapidamente. Se você olhar para um enunciado e os termos da soma não tendem a zero, já conclui divergência sem cálculos extras.
Passo 4
Item (3). Vamos entender o comportamento assintótico de
quando
e
são polinômios e
.
Fato útil (explicado): se
com
, então para grandes
o quociente
comporta-se como
onde
é a razão dos coeficientes principais. Ou seja, existe constante
tal que
- Se
então os termos decaem como (p-série com , tende a divergir). - Se
então os termos decaem como com , e a série pode convergir (p-série com ).
Portanto a afirmação “se
então
diverge” pretende que em todos esses casos haja divergência — isso é falso porque quando a diferença de graus é
ou mais a série tipicamente converge.
Contraexemplo concreto: escolha
e
. Então
e a série
converge por comparação com
(p-série com
). Portanto o item (3) é falso.
Observação útil na prova: a conclusão depende da diferença de graus. Se
espera-se convergência (comportamento como p-série de expoente
); se
espera-se divergência pela comparação com
. Mas o enunciado exigia que sempre diverge quando
— o que é incorreto.
Passo 5
Item (4). A afirmação diz: se
diverge então
diverge. Essa declaração é plausível à primeira vista, mas é falsa: pode acontecer de os termos
serem grandes o suficiente para tornar
divergente, mas pequenos o bastante (ao quadrado) para que
convirja.
Construo um contraexemplo positivo e simples usando p-séries: tome
- A série
diverge porque é uma p-série com (mais precisamente dá divergência). - Agora calcule
. - A série
converge porque é uma p-série com .
Logo temos
divergente e
convergente; isso prova que a afirmação é falsa.
Comentário prático: a implicação contrária é mais frequente em testes — por exemplo, se
converge então muitas vezes
converge absolutamente? Cuidado: de fato, se
converge e os
são reais, não se conclui automaticamente que
converge (por exemplo,
faz
divergir; mas há exemplos com sinais que confundem). O importante para esta questão: não existe uma regra geral que force
a divergir sempre que
diverge.
Passo 6
Resumo das ferramentas usadas (para fixar seu raciocínio na prova):
- Teste necessário: se
converge então . Se o limite dos termos não for zero, a série diverge imediatamente. - p-série:
converge iff . - Comparação assintótica para quocientes de polinômios:
. - Contraprovas por contraexemplo são muitas vezes mais rápidas: procure p-séries para construir exemplos simples.
Resposta
(1) Falso
(2) Verdadeiro
(3) Falso
(4) Falso
(2) Verdadeiro
(3) Falso
(4) Falso