Exercício 1.17. Assinale Verdadeiro ou Falso, justificando suas respostas:
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n}>0, para todo n \in \mathbb{N}, então \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n}} converge.
( ) Suponha que a_{n}>0, para todo n \in \mathbb{N} e que \lim a_{n}=1, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.
( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) \neq 0. Se o grau de p for menor que de q, então \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{p(n)}{q(n)} diverge.
( ) \mathrm{Se} \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}^{2} diverge.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o exercício pede e as informações dadas (cada linha é um dos itens a avaliar como Verdadeiro ou Falso, com a hipótese indicada):
  • Item (1): Dado que \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge e a_{n}>0 para todo n, analisar se então \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n}} converge.
  • Item (2): Suponha a_{n}>0 para todo n e que \lim_{n\to\infty} a_{n}=1. Analisar se então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge.
  • Item (3): Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros e tal que q(n)\neq 0 para n\in\mathbb{N}. Se o grau de p for menor que o de q, analisar se \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{p(n)}{q(n)} diverge.
  • Item (4): Analisar se da divergência de \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} segue que \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} também diverge.
Estas são as quatro perguntas; a seguir vou tratar cada uma passo a passo, explicando as ideias usadas (testes padrão, contraexemplos, p-séries, etc.), com bastante detalhe para você entender e conseguir reproduzir algo parecido na prova.

Passo 2

Item (1). Primeira ideia importante (ferramenta usada): uma condição necessária para a convergência de uma série \sum a_n é que os termos vão a zero, isto é, se \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Mas essa condição não é suficiente para transformações não-lineares dos termos (como a raiz quadrada): o fato de a_n\to 0 não garante que \sqrt{a_n} seja summável.
Vou construir um contraexemplo simples e clássico (mostrando que a afirmação é falsa). Escolho
a_n=\frac{1}{n^{2}}.
  • Explico por que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge: é uma p-série com expoente p=2>1. Lembrete do teste p-série: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
  • Agora calcule \sqrt{a_n}=\sqrt{\dfrac{1}{n^{2}}}=\dfrac{1}{n}.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge (é a p-série com p=1, que diverge).
Conclusão do contraexemplo: temos \sum a_n convergente e a_n>0, mas \sum \sqrt{a_n} diverge. Portanto o item (1) é falso.
Dica prática para prova: quando alguém afirma que algum operador monotônico (como raiz, potência, log, etc.) preserva convergência, desconfie e tente um exemplo com p‑séries porque elas fornecem escalações fáceis para testar.

Passo 3

Item (2). Ferramenta básica: para uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n convergir, é necessário que a_n\to 0. Isso é direto da definição da soma parcial convergente: se S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n converge para S então a_n = S_n - S_{n-1}\to 0.
Aqui o enunciado diz que a_n>0 e \lim_{n\to\infty} a_n = 1. Como o limite dos termos não é zero (é igual a 1), a série não pode convergir — então ela diverge.
Conclusão: o item (2) é verdadeiro.
Comentário didático: esse é o teste mais simples e mais usado para descartar convergência rapidamente. Se você olhar para um enunciado e os termos da soma não tendem a zero, já conclui divergência sem cálculos extras.

Passo 4

Item (3). Vamos entender o comportamento assintótico de \dfrac{p(n)}{q(n)} quando p e q são polinômios e \deg p < \deg q.
Fato útil (explicado): se \deg q - \deg p = d com d\ge 1, então para grandes n o quociente \dfrac{p(n)}{q(n)} comporta-se como \dfrac{C}{n^{d}} onde C é a razão dos coeficientes principais. Ou seja, existe constante C\neq 0 tal que
\frac{p(n)}{q(n)}\sim \frac{C}{n^{d}}\quad (n\to\infty).
  • Se d=1 então os termos decaem como 1/n (p-série com p=1, tende a divergir).
  • Se d\ge 2 então os termos decaem como 1/n^{d} com d>1, e a série pode convergir (p-série com p=d>1).
Portanto a afirmação “se \deg p<\deg q então \sum \dfrac{p(n)}{q(n)} diverge” pretende que em todos esses casos haja divergência — isso é falso porque quando a diferença de graus é 2 ou mais a série tipicamente converge.
Contraexemplo concreto: escolha p(x)=1 e q(x)=x^{2}+1. Então
\frac{p(n)}{q(n)}=\frac{1}{n^{2}+1},
e a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}+1} converge por comparação com \sum \dfrac{1}{n^{2}} (p-série com p=2). Portanto o item (3) é falso.
Observação útil na prova: a conclusão depende da diferença de graus. Se \deg q \ge \deg p+2 espera-se convergência (comportamento como p-série de expoente >1); se \deg q = \deg p+1 espera-se divergência pela comparação com 1/n. Mas o enunciado exigia que sempre diverge quando \deg p<\deg q — o que é incorreto.

Passo 5

Item (4). A afirmação diz: se \sum a_n diverge então \sum a_n^{2} diverge. Essa declaração é plausível à primeira vista, mas é falsa: pode acontecer de os termos a_n serem grandes o suficiente para tornar \sum a_n divergente, mas pequenos o bastante (ao quadrado) para que \sum a_n^{2} convirja.
Construo um contraexemplo positivo e simples usando p-séries: tome
a_n=\frac{1}{n^{3/4}}.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3/4}} diverge porque é uma p-série com p=3/4\le 1 (mais precisamente p<1 dá divergência).
  • Agora calcule a_n^{2}=\dfrac{1}{n^{3/2}}.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3/2}} converge porque é uma p-série com p=3/2>1.
Logo temos \sum a_n divergente e \sum a_n^{2} convergente; isso prova que a afirmação é falsa.
Comentário prático: a implicação contrária é mais frequente em testes — por exemplo, se \sum a_n^{2} converge então muitas vezes \sum a_n converge absolutamente? Cuidado: de fato, se \sum a_n^{2} converge e os a_n são reais, não se conclui automaticamente que \sum a_n converge (por exemplo, a_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} faz \sum a_n^{2}=\sum 1/n divergir; mas há exemplos com sinais que confundem). O importante para esta questão: não existe uma regra geral que force \sum a_n^2 a divergir sempre que \sum a_n diverge.

Passo 6

Resumo das ferramentas usadas (para fixar seu raciocínio na prova):
  • Teste necessário: se \sum a_n converge então a_n\to 0. Se o limite dos termos não for zero, a série diverge imediatamente.
  • p-série: \sum 1/n^{p} converge iff p>1.
  • Comparação assintótica para quocientes de polinômios: \dfrac{p(n)}{q(n)}\sim C n^{-(\deg q-\deg p)}.
  • Contraprovas por contraexemplo são muitas vezes mais rápidas: procure p-séries para construir exemplos simples.

Resposta

(1) Falso
(2) Verdadeiro
(3) Falso
(4) Falso

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