Uma fábrica de ração faz uma mistura utilizando 4 ingredientes: A, B, C e D. Cada porção da mistura deve conter uma quantidade exata de proteínas, carboidratos, gorduras e fibras:
  • 44 g de proteínas;
  • 48 g de carboidratos;
  • 52 g de gorduras;
  • 58 g de fibras;
Os 4 ingredientes seguem a seguinte distribuição de proteína, carboidratos, gordura e fibras em g por porção:
Proteína Carboidratos Gordura Fibras
Ingrediente A 2 3 2 5
Ingrediente B 1 5 6 2
Ingrediente C 3 2 4 3
Ingrediente D 4 2 1 3
(a) Qual a quantidade de cada ingrediente, em porções, a ser adicionada à receita de modo a atender a distribuição de proteínas, carboidratos, gorduras e fibras? Para responder a questāo, formule matematicamente o problema como um sistema linear A x=B: n=4 e em seguida encontre a solução do sistema pelo Método de Gauss:
(b) A partir dos valores numéricos obtidos pelo Método de Gauss, determine as matrizes LeU relativas à matriz A e resolva o sistema linear pelo Método de Descomposição LU (Gauss-Compacto), considerando uma outra mistura que demande 34 g de proteínas, 43 g de carboidratos, 49 g de gordura e 44 g de fibras.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
  • Pedido:
    (a) Encontrar quantas porções de cada ingrediente A,B,C,D devem entrar na mistura para que a porção final tenha exatamente 44 g de proteínas, 48 g de carboidratos, 52 g de gorduras e 58 g de fibras, formulando o problema como um sistema linear \,A x = b com n=4 e resolvendo por Gauss.
    (b) A partir dos valores numéricos obtidos em (a), determinar as matrizes L e U relativas à matriz A e usar a decomposição LU (Gauss-compacto) para resolver outra mistura com vetor de demandas (34,43,49,44).
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Requerimentos totais: b=\begin{pmatrix}44\\[4pt]48\\[4pt]52\\[4pt]58\end{pmatrix}.
    • Composição (g por porção) dos ingredientes A,B,C,D nas 4 categorias (linha = nutriente, coluna = ingrediente): \begin{array}{c|cccc} & A & B & C & D\\hline \text{Proteína} & 2 & 1 & 3 & 4\\\ \text{Carboidratos} & 3 & 5 & 2 & 2\\\ \text{Gordura} & 2 & 6 & 4 & 1\\\ \text{Fibras} & 5 & 2 & 3 & 3 \end{array}í
    • Variáveis (o que vamos achar): x=\begin{pmatrix}x_A\\[4pt]x_B\\[4pt]x_C\\[4pt]x_D\end{pmatrix},onde x_A é o número de porções do ingrediente A, etc.
  • Assim o sistema linear fica
    A x = b,\quad\text{com}\quad A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 5 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 6 & 4 & 1\\[4pt] 5 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}44\\[4pt]48\\[4pt]52\\[4pt]58\end{pmatrix}.]

Passo 2

Começando a resolver (a) pelo Método de Gauss (eliminação gaussiana). Vou montar a matriz aumentada inicial e explicar cada operação como se estivéssemos fazendo à mão na prova.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 3 & 4 & 44\\[4pt] 3 & 5 & 2 & 2 & 48\\[4pt] 2 & 6 & 4 & 1 & 52\\[4pt] 5 & 2 & 3 & 3 & 58 \end{array}\right].
Ideia rápida: usar a primeira linha como pivô para zerar coluna 1 nas linhas 2,3,4. O multiplicador para zerar a linha i é m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}. Vou calcular esses multiplicadores e aplicar as operações.
  • Pivot a_{11}=2.
    • m_{21}=\dfrac{3}{2}. Faço R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1.
    • m_{31}=\dfrac{2}{2}=1. Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
    • m_{41}=\dfrac{5}{2}. Faço R_4 \leftarrow R_4 - m_{41}R_1.
Calculemos linha a linha (mostrando as contas):
R1 permanece:
R_1 = [\,2\;\;1\;\;3\;\;4\mid 44\,].
R2:
\begin{aligned} &3 - \tfrac{3}{2}\cdot 2 = 0,\\\ &5 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = \tfrac{7}{2},\\\ &2 - \tfrac{3}{2}\cdot 3 = -\tfrac{5}{2},\\\ &2 - \tfrac{3}{2}\cdot 4 = -4,\\\ &48 - \tfrac{3}{2}\cdot 44 = 48 - 66 = -18. \end{aligned}
Logo
R_2 = \left[\,0\;\;\tfrac{7}{2}\;\;-\tfrac{5}{2}\;\;-4\mid -18\,\right].
R3:
R_3 - R_1 = [\,0\;\;5\;\;1\;\;-3\mid 8\,].
R4:
\begin{aligned} &5 - \tfrac{5}{2}\cdot 2 = 0,\\\ &2 - \tfrac{5}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2},\\\ &3 - \tfrac{5}{2}\cdot 3 = -\tfrac{9}{2},\\\ &3 - \tfrac{5}{2}\cdot 4 = -7,\\\ &58 - \tfrac{5}{2}\cdot 44 = 58 - 110 = -52. \end{aligned}
Logo
R_4 = \left[\,0\;\;-\tfrac{1}{2}\;\;-\tfrac{9}{2}\;\;-7\mid -52\,\right].
Matriz após primeira etapa:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 3 & 4 & 44\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & -4 & -18\\[4pt] 0 & 5 & 1 & -3 & 8\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{9}{2} & -7 & -52 \end{array}\right].]

Passo 3

Segunda etapa: usar a_{22}=\tfrac{7}{2} como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 2 (linhas 3 e 4). Multiplicadores:
m_{32}=\frac{5}{\tfrac{7}{2}}=\frac{10}{7},\qquad m_{42}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{7}{2}}=-\frac{1}{7}.
Aplicações:
  • R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2.
Cálculos para R_3:
\begin{aligned} &5 - \tfrac{10}{7}\cdot \tfrac{7}{2} = 0,\\\ &1 - \tfrac{10}{7}\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big) = 1 + \tfrac{50}{14} = \tfrac{32}{7},\\\ &-3 - \tfrac{10}{7}\cdot(-4) = -3 + \tfrac{40}{7} = \tfrac{19}{7},\\\ &8 - \tfrac{10}{7}\cdot(-18) = 8 + \tfrac{180}{7} = \tfrac{236}{7}. \end{aligned}
Portanto
R_3 = \left[\,0\;\;0\;\;\tfrac{32}{7}\;\;\tfrac{19}{7}\mid \tfrac{236}{7}\,\right].
  • R_4 \leftarrow R_4 - m_{42}R_2 = R_4 + \tfrac{1}{7}R_2.
Cálculos para R_4:
\begin{aligned} &-\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{7}\cdot \tfrac{7}{2} = 0,\\\ &-\tfrac{9}{2} + \tfrac{1}{7}\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big) = -\tfrac{9}{2} - \tfrac{5}{14} = -\tfrac{34}{7},\\\ &-7 + \tfrac{1}{7}\cdot(-4) = -\tfrac{53}{7},\\\ &-52 + \tfrac{1}{7}\cdot(-18) = -\tfrac{382}{7}. \end{aligned}
Logo
R_4 = \left[\,0\;\;0\;\;-\tfrac{34}{7}\;\;-\tfrac{53}{7}\mid -\tfrac{382}{7}\,\right].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 3 & 4 & 44\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & -4 & -18\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{32}{7} & \tfrac{19}{7} & \tfrac{236}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{34}{7} & -\tfrac{53}{7} & -\tfrac{382}{7} \end{array}\right].]

Passo 4

Terceira etapa: pivot a_{33}=\tfrac{32}{7}. Multiplicador para zerar a_{43}:
m_{43}=\frac{-\tfrac{34}{7}}{\tfrac{32}{7}} = -\frac{34}{32} = -\frac{17}{16}.
Aplicamos R_4 \leftarrow R_4 - m_{43} R_3 = R_4 + \tfrac{17}{16}R_3.
Cálculos:
  • Coluna 3 fica zero por construção.
  • Coluna 4:
-\tfrac{53}{7} + \tfrac{17}{16}\cdot \tfrac{19}{7} = -\tfrac{53}{7} + \tfrac{323}{112} = -\tfrac{75}{16}.
  • RHS:
-\tfrac{382}{7} + \tfrac{17}{16}\cdot \tfrac{236}{7} = -\tfrac{525}{4} \cdot \tfrac{1}{7}? \text{(fazendo contas acima dá)}\; -\tfrac{75}{4}.á
Simplificando ficamos com a linha:
R_4 = \left[\,0\;\;0\;\;0\;\; -\tfrac{75}{16} \mid -\tfrac{75}{4}\,\right].
Agora temos a matriz triangular superior U no lado esquerdo:
U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & -4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{32}{7} & \tfrac{19}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{75}{16} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Fazendo a substituição regressiva (back-substitution) para obter x (solução do sistema original).
Sistema triangular superior equivalente:
\begin{aligned} &2x_A + 1x_B + 3x_C + 4x_D = 44,\\[4pt] &\tfrac{7}{2}x_B - \tfrac{5}{2}x_C - 4x_D = -18,\\[4pt] &\tfrac{32}{7}x_C + \tfrac{19}{7}x_D = \tfrac{236}{7},\\[4pt] &-\tfrac{75}{16}x_D = -\tfrac{75}{4}. \end{aligned}
  • Da última equação:
x_D = \frac{-\tfrac{75}{4}}{-\tfrac{75}{16}} = \frac{75/4}{75/16} = \frac{16}{4}=4.
  • Na equação 3:
\frac{32}{7}x_C + \frac{19}{7}\cdot 4 = \frac{236}{7} \implies 32x_C + 76 = 236 \implies 32x_C =160 \implies x_C=5.
  • Na equação 2:
\frac{7}{2}x_B - \frac{5}{2}\cdot 5 - 4\cdot 4 = -18.
Calculando:
\frac{7}{2}x_B - \frac{25}{2} -16 = -18 \implies \frac{7}{2}x_B - \frac{57}{2} = -18 \implies \frac{7}{2}x_B = \frac{21}{2} \implies x_B = 3.
  • Na equação 1:
2x_A + 3 + 3\cdot 5 + 4\cdot 4 = 44 \implies 2x_A + 3 +15 +16 =44 \implies 2x_A +34 =44 \implies x_A = 5.
Portanto a solução do item (a) é
x=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\\[4pt]5\\[4pt]4\end{pmatrix},
ou seja x_A=5,\;x_B=3,\;x_C=5,\;x_D=4 porções.]

Passo 6

Agora (b): obter as matrizes L e U associadas à A (usando os multiplicadores já calculados) e resolver o novo sistema A x = b^{(2)} com
b^{(2)}=\begin{pmatrix}34\\[4pt]43\\[4pt]49\\[4pt]44\end{pmatrix}
usando a decomposição A=LU (Gauss-compacto). Vou explicar como montar L a partir dos multiplicadores usados em cada etapa da eliminação feita acima.
  • Multiplicadores usados:
    • Coluna 1: m_{21}=\tfrac{3}{2},\; m_{31}=1,\; m_{41}=\tfrac{5}{2}.
    • Coluna 2 (após primeira eliminação): m_{32}=\tfrac{10}{7},\; m_{42}=-\tfrac{1}{7}.
    • Coluna 3 (após segunda eliminação): m_{43}=-\tfrac{17}{16}.
Matriz L é triangular inferior com diagonais 1 e essas entradas abaixo da diagonal:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{2} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & \tfrac{10}{7} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{7} & -\tfrac{17}{16} & 1 \end{pmatrix}.
Já a matriz U é a triangular superior encontrada na eliminação:
U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & -4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{32}{7} & \tfrac{19}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{75}{16} \end{pmatrix}.
(Verificação rápida: multiplicadores em L são exatamente aqueles usados para zerar abaixo da diagonal, e LU reconstrói A — é a ideia da decomposição.)]

Passo 7

Resolver A x = b^{(2)} via LU em duas etapas:
  1. resolver L y = b^{(2)} por substituição direta (forward substitution);
  2. resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution).
Escrevendo L e b^{(2)}:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{2} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & \tfrac{10}{7} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{7} & -\tfrac{17}{16} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\\[4pt]y_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34\\[4pt]43\\[4pt]49\\[4pt]44\end{pmatrix}.
Forward substitution (cada equação isolada):
  • y_1 = 34.
  • \tfrac{3}{2}y_1 + y_2 = 43 \implies y_2 = 43 - \tfrac{3}{2}\cdot 34 = 43 - 51 = -8.
  • 1\cdot y_1 + \tfrac{10}{7}y_2 + y_3 = 49 \implies y_3 = 49 - 34 - \tfrac{10}{7}(-8) = 15 + \tfrac{80}{7} = \tfrac{185}{7}.
  • \tfrac{5}{2}y_1 -\tfrac{1}{7}y_2 -\tfrac{17}{16}y_3 + y_4 = 44.
Calcule a última explicitamente:
\tfrac{5}{2}\cdot 34 =85,\quad -\tfrac{1}{7}(-8)=\tfrac{8}{7},\quad -\tfrac{17}{16}\cdot \tfrac{185}{7} = -\tfrac{3145}{112}.
Somando esses três termos dá 58,0625 (ou, em frações, \tfrac{6503}{112}), então
y_4 = 44 - 58,0625 = -14,0625 = -\tfrac{225}{16}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}34\\[4pt]-8\\[4pt]\tfrac{185}{7}\\[4pt]-\tfrac{225}{16}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolver U x = y:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{2} & -4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{32}{7} & \tfrac{19}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{75}{16} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_A\\[4pt]x_B\\[4pt]x_C\\[4pt]x_D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34\\[4pt]-8\\[4pt]\tfrac{185}{7}\\[4pt]-\tfrac{225}{16}\end{pmatrix}.
Back-substitution:
  • Última eq.: -\tfrac{75}{16}x_D = -\tfrac{225}{16} \implies x_D = 3.
  • Terceira eq.: \tfrac{32}{7}x_C + \tfrac{19}{7}\cdot 3 = \tfrac{185}{7} \implies 32x_C +57 =185 \implies x_C=4.
  • Segunda eq.: \tfrac{7}{2}x_B - \tfrac{5}{2}x_C -4x_D = -8.
    Substituindo x_C=4,x_D=3:
    \tfrac{7}{2}x_B - \tfrac{5}{2}\cdot 4 -12 = -8
    \implies \tfrac{7}{2}x_B -10 -12 = -8 \implies \tfrac{7}{2}x_B = -8 +22 =14 \implies x_B =4.
  • Primeira eq.: 2x_A + x_B + 3x_C +4x_D = 34.
    Substituindo x_B=4,x_C=4,x_D=3:
    2x_A +4 +12 +12 =34 \implies 2x_A =6 \implies x_A =3.
Solução do segundo sistema:
x=\begin{pmatrix}3\\[4pt]4\\[4pt]4\\[4pt]3\end{pmatrix},
ou seja x_A=3,\;x_B=4,\;x_C=4,\;x_D=3.]

Resposta

(a) \;x_A=5,\;x_B=3,\;x_C=5,\;x_D=4
(b) \;x_A=3,\;x_B=4,\;x_C=4,\;x_D=3

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