Uma fábrica de ração faz uma mistura utilizando 4 ingredientes: A, B, C e D. Cada porção da mistura deve conter uma quantidade exata de proteínas, carboidratos, gorduras e fibras:
44 g de proteínas;
48 g de carboidratos;
52 g de gorduras;
58 g de fibras;
Os 4 ingredientes seguem a seguinte distribuição de proteína, carboidratos, gordura e fibras em g por porção:
Proteína
Carboidratos
Gordura
Fibras
Ingrediente A
2
3
2
5
Ingrediente B
1
5
6
2
Ingrediente C
3
2
4
3
Ingrediente D
4
2
1
3
(a) Qual a quantidade de cada ingrediente, em porções, a ser adicionada à receita de modo a atender a distribuição de proteínas, carboidratos, gorduras e fibras? Para responder a questāo, formule matematicamente o problema como um sistema linear A x=B: n=4 e em seguida encontre a solução do sistema pelo Método de Gauss:
(b) A partir dos valores numéricos obtidos pelo Método de Gauss, determine as matrizes LeU relativas à matriz A e resolva o sistema linear pelo Método de Descomposição LU (Gauss-Compacto), considerando uma outra mistura que demande 34 g de proteínas, 43 g de carboidratos, 49 g de gordura e 44 g de fibras.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
Pedido:
(a) Encontrar quantas porções de cada ingrediente A,B,C,D devem entrar na mistura para que a porção final tenha exatamente 44 g de proteínas, 48 g de carboidratos, 52 g de gorduras e 58 g de fibras, formulando o problema como um sistema linear \,A x = b com n=4 e resolvendo por Gauss.
(b) A partir dos valores numéricos obtidos em (a), determinar as matrizes L e U relativas à matriz A e usar a decomposição LU (Gauss-compacto) para resolver outra mistura com vetor de demandas (34,43,49,44).
Começando a resolver (a) pelo Método de Gauss (eliminação gaussiana). Vou montar a matriz aumentada inicial e explicar cada operação como se estivéssemos fazendo à mão na prova.
Ideia rápida: usar a primeira linha como pivô para zerar coluna 1 nas linhas 2,3,4. O multiplicador para zerar a linha i é m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}. Vou calcular esses multiplicadores e aplicar as operações.
(Verificação rápida: multiplicadores em L são exatamente aqueles usados para zerar abaixo da diagonal, e LU reconstrói A — é a ideia da decomposição.)]
Passo 7
Resolver A x = b^{(2)} via LU em duas etapas:
resolver L y = b^{(2)} por substituição direta (forward substitution);
resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution).