Exercício 17: Calcule a derivada da função y=3 x\left(8 x^{3}-2\right). (Resp.: 96 x^{3}-6 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = 3x\left(8x^{3}-2\right).
Informações dadas:
\text{função } y = 3x\bigl(8x^{3}-2\bigr).çã
Pergunta: encontrar y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e motivo): podemos usar duas abordagens equivalentes e simples:
  1. Expandir o produto e depois derivar termo a termo (mais direto e geralmente mais rápido em prova).
  2. Usar a regra do produto diretamente (útil quando não é conveniente expandir).
    Vou aplicar primeiro a expansão — é a mais básica e requer só a regra da potência e propriedades lineares da derivada — e depois mostro a verificação usando a regra do produto para você entender os dois jeitos.

Passo 3

Lembrete de teoria essencial (regra da potência e linearidade):
  • Regra da potência: para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa, por exemplo, que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},\quad \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes podem sair da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\bigr)=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x).
Essas duas ideias bastam para aplicar a expansão.

Passo 4

Expandindo a expressão original: multiplicamos 3x por cada termo dentro do parêntese.
y = 3x\bigl(8x^{3}-2\bigr) = 3x\cdot 8x^{3} - 3x\cdot 2.
Calcule cada produto:
3x\cdot 8x^{3} = 24x^{4},
3x\cdot 2 = 6x.
Portanto
y = 24x^{4} - 6x.

Passo 5

Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência e linearidade:
  • Derivada de 24x^{4}: a constante 24 sai da derivada e aplicamos a regra da potência com n=4:
\frac{d}{dx}\bigl(24x^{4}\bigr)=24\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=24\cdot 4x^{3}=96x^{3}.
  • Derivada de -6x: aqui x tem expoente 1, então
\frac{d}{dx}\bigl(-6x\bigr)=-6\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=-6\cdot 1=-6.
Somando as derivadas dos termos:
y' = 96x^{3} - 6.

Passo 6

Verificação alternativa pela regra do produto (pra reforçar e você ver que dá no mesmo): se y=u\cdot v com u=3x e v=8x^{3}-2, a regra do produto diz
\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'.
Calculamos u' e v':
u=3x\Rightarrow u'=3,
v=8x^{3}-2\Rightarrow v'=8\cdot 3x^{2}=24x^{2}.
Aplicando a regra do produto:
y' = 3\bigl(8x^{3}-2\bigr) + 3x\cdot 24x^{2}.
Calcule os termos:
3\bigl(8x^{3}-2\bigr)=24x^{3}-6,
3x\cdot 24x^{2}=72x^{3}.
Somando:
y'=(24x^{3}-6)+72x^{3}=96x^{3}-6,
igual ao resultado obtido pela expansão — perfeito, consistência conferida.

Resposta

96x^{3}-6

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