Exercício 17: Calcule a derivada da função
. (Resp.:
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
Pergunta: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e motivo): podemos usar duas abordagens equivalentes e simples:
- Expandir o produto e depois derivar termo a termo (mais direto e geralmente mais rápido em prova).
- Usar a regra do produto diretamente (útil quando não é conveniente expandir).
Vou aplicar primeiro a expansão — é a mais básica e requer só a regra da potência e propriedades lineares da derivada — e depois mostro a verificação usando a regra do produto para você entender os dois jeitos.
Passo 3
Lembrete de teoria essencial (regra da potência e linearidade):
- Regra da potência: para qualquer número real
,
Isto significa, por exemplo, que
- Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes podem sair da derivada:
Essas duas ideias bastam para aplicar a expansão.
Passo 4
Expandindo a expressão original: multiplicamos
por cada termo dentro do parêntese.
Calcule cada produto:
Portanto
Passo 5
Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência e linearidade:
- Derivada de
: a constante sai da derivada e aplicamos a regra da potência com :
- Derivada de
: aqui tem expoente , então
Somando as derivadas dos termos:
Passo 6
Verificação alternativa pela regra do produto (pra reforçar e você ver que dá no mesmo): se
com
e
, a regra do produto diz
Calculamos
e
:
Aplicando a regra do produto:
Calcule os termos:
Somando:
igual ao resultado obtido pela expansão — perfeito, consistência conferida.