Exercício 16: Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. Mais precisamente:
- Função dada:
. - O que é pedido: encontrar
, a derivada de em função de . - Informação útil do enunciado: o argumento do logaritmo é
, que é sempre maior que zero para todo (pois e ). Logo está bem definida para todo .
Passo 2
Vamos relembrar duas ferramentas que vamos usar (vou explicar com calma).
- Regra do logaritmo natural: se tivermos uma função
com , então
Isto é uma aplicação da regra da cadeia (veja abaixo).
- Regra da cadeia (explicada): se uma função
é composição de duas funções, , então a derivada é
Ou seja, você deriva a função externa
avaliando-a em
e multiplica pela derivada da função interna
. Pense assim: a variação total vem da variação externa vezes a velocidade com que a parte interna varia.
Passo 3
Identifique as partes da composição na função dada:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Agora calcule as derivadas dessas partes separadamente:
- Derivada da externa: como sabemos
. Então . - Derivada da interna: use a regra do potência e a derivada de constante. A regra do potência diz que
. Aplicando com ,
E
. Portanto
Passo 4
Aplique a regra da cadeia combinando as derivadas obtidas:
Substituindo
com
e
, obtemos
Simplificando o produto:
Passo 5
Pequeno comentário de verificação e intuição: para
, por exemplo, temos
. Isso faz sentido: a derivada é positiva quando
e negativa quando
, porque o numerador
determina o sinal. O denominador é sempre positivo, então ele só escala a inclinação.