Exercício 16: Calcule f^{\prime}(x), onde f(x)=\ln \left(x^{2}+2\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f. Mais precisamente:
  • Função dada: f(x)=\ln\left(x^{2}+2\right).
  • O que é pedido: encontrar f^{\prime}(x), a derivada de f em função de x.
  • Informação útil do enunciado: o argumento do logaritmo é x^{2}+2, que é sempre maior que zero para todo x\in\mathbb{R} (pois x^{2}\ge 0 e x^{2}+2\ge 2>0). Logo f está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos relembrar duas ferramentas que vamos usar (vou explicar com calma).
  • Regra do logaritmo natural: se tivermos uma função u(x) com u(x)>0, então
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto é uma aplicação da regra da cadeia (veja abaixo).
  • Regra da cadeia (explicada): se uma função f é composição de duas funções, f(x)=F\bigl(u(x)\bigr), então a derivada é
f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Ou seja, você deriva a função externa F avaliando-a em u(x) e multiplica pela derivada da função interna u(x). Pense assim: a variação total vem da variação externa vezes a velocidade com que a parte interna varia.

Passo 3

Identifique as partes da composição na função dada:
  • Função externa: F(u)=\ln(u).
  • Função interna: u(x)=x^{2}+2.
Agora calcule as derivadas dessas partes separadamente:
  • Derivada da externa: como sabemos \frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u}. Então F'(u)=\frac{1}{u}.
  • Derivada da interna: use a regra do potência e a derivada de constante. A regra do potência diz que \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=2,
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
E \frac{d}{dx}2=0. Portanto
u'(x)=2x+0=2x.

Passo 4

Aplique a regra da cadeia combinando as derivadas obtidas:
f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo F'(u)=\frac{1}{u} com u(x)=x^{2}+2 e u'(x)=2x, obtemos
f'(x)=\frac{1}{x^{2}+2}\cdot 2x.
Simplificando o produto:
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+2}.

Passo 5

Pequeno comentário de verificação e intuição: para x=1, por exemplo, temos f'(1)=\dfrac{2\cdot 1}{1^{2}+2}=\dfrac{2}{3}. Isso faz sentido: a derivada é positiva quando x>0 e negativa quando x<0, porque o numerador 2x determina o sinal. O denominador é sempre positivo, então ele só escala a inclinação.

Resposta

\dfrac{2x}{x^{2}+2}

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