Exercício 18: Calcule as derivadas.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
Pergunta: encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
O que é derivada (uma revisão rápida e intuitiva): a derivada de uma função em um ponto diz como a função varia quando
varia — é a taxa de variação instantânea. Em notação, a derivada de
é escrita
ou
.
Você precisa conhecer duas regras básicas que vamos usar — eu explico bem devagar.
Regra 1 — regra da potência (power rule):
Se tivermos uma função do tipo com
sendo um número real, a derivada é
Se tivermos uma função do tipo
Aqui
é o expoente e
é a variável. Exemplo simples: se
, então
.
Regra 2 — regra da cadeia (chain rule) para funções compostas:
Se temos uma função composta , onde
é uma função do valor
e
depende de
, então a derivada é dada por
Se temos uma função composta
Explicando:
é a derivada da função externa em relação à sua variável
, avaliada em
; e
é a derivada da função interna em relação a
. Em palavras: deriva a externa (mantendo a interna) e multiplica pela derivada da interna.
Um exemplo pequeno para fixar: para
, a função externa é
(derivada
) e a interna é
(derivada
). Pela cadeia,
Passo 3
Agora identifique as partes da nossa função
seguindo a ideia da regra da cadeia.
Defina a função interna
e a função externa
Então
.
Passo 4
Calcule as derivadas das partes:
Derivada da externa em função de
: pela regra da potência, se
então
Derivada da interna em função de
: se
então
porque a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Agora aplique a regra da cadeia:
Substituindo
e
e
obtemos a expressão (ainda sem simplificar os coeficientes):
Vou simplificar o produto de constantes na etapa final.
Simplificação do coeficiente: . Substituindo isso na expressão obtida no passo anterior (esta simplificação será apresentada apenas na resposta final abaixo).
Simplificação do coeficiente: