Exercício 18: Calcule as derivadas.
(a) g(x)=\left(x^{2}+7\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\left(x^{2}+7\right)^{4}.
Informações dadas:
\text{função } g(x)=\bigl(x^{2}+7\bigr)^{4}.çã
Pergunta: encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

O que é derivada (uma revisão rápida e intuitiva): a derivada de uma função em um ponto diz como a função varia quando x varia — é a taxa de variação instantânea. Em notação, a derivada de g é escrita g'(x) ou \dfrac{dg}{dx}.
Você precisa conhecer duas regras básicas que vamos usar — eu explico bem devagar.
Regra 1 — regra da potência (power rule):
Se tivermos uma função do tipo \;f(x)=x^{n}\; com n sendo um número real, a derivada é
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Exemplo simples: se f(x)=x^{3}, então f'(x)=3x^{2}.
Regra 2 — regra da cadeia (chain rule) para funções compostas:
Se temos uma função composta \;F(x)=h(u(x))\;, onde h é uma função do valor u e u depende de x, então a derivada é dada por
F'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando: h'(u) é a derivada da função externa em relação à sua variável u, avaliada em u(x); e u'(x) é a derivada da função interna em relação a x. Em palavras: deriva a externa (mantendo a interna) e multiplica pela derivada da interna.
Um exemplo pequeno para fixar: para \;H(x)=\bigl(x^{3}+1\bigr)^{2}\;, a função externa é h(u)=u^{2} (derivada 2u) e a interna é u(x)=x^{3}+1 (derivada 3x^{2}). Pela cadeia,
H'(x)=2\bigl(x^{3}+1\bigr)\cdot 3x^{2}=6x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr).

Passo 3

Agora identifique as partes da nossa função \;g(x)=\bigl(x^{2}+7\bigr)^{4}\; seguindo a ideia da regra da cadeia.
Defina a função interna
u(x)=x^{2}+7
e a função externa
h(u)=u^{4}.
Então g(x)=h\bigl(u(x)\bigr).

Passo 4

Calcule as derivadas das partes:
Derivada da externa em função de u: pela regra da potência, se h(u)=u^{4} então
h'(u)=4u^{3}.
Derivada da interna em função de x: se u(x)=x^{2}+7 então
u'(x)=2x,
porque a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante ( 7) é 0.
Agora aplique a regra da cadeia:
g'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo h' e u e u' obtemos a expressão (ainda sem simplificar os coeficientes):
g'(x)=4\bigl(x^{2}+7\bigr)^{3}\cdot 2x.
Vou simplificar o produto de constantes na etapa final.
Simplificação do coeficiente: 4\cdot 2x=8x. Substituindo isso na expressão obtida no passo anterior (esta simplificação será apresentada apenas na resposta final abaixo).

Resposta

g'(x)=8x\bigl(x^{2}+7\bigr)^{3}

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