Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{\pi / 4} \csc ^{2}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta.
Informações e observações que o enunciado dá:
  • O intervalo de integração é [0,\pi/4].
  • A função integranda é \csc^{2}(\theta)=1/\sin^{2}(\theta).
  • Há um ponto potencialmente problemático em \theta=0, porque \sin(0)=0 e, portanto, \csc^{2}(\theta) não está definida em \theta=0.

Passo 2

Por que não posso aplicar imediatamente o Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) de forma direta?
  • O FTC exige que a função integranda seja contínua no intervalo fechado de integração. Aqui \csc^{2}(\theta) não é contínua em \theta=0 (é singular ali).
  • Logo, a integral em [0,\pi/4] é uma integral imprópria. Devemos definí-la por um limite, integrando de um ponto positivo a até \pi/4 e depois fazendo a\to0^{+}:
\int_{0}^{\pi/4} \csc^{2}(\theta)\,d\theta :=\lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{\pi/4}\csc^{2}(\theta)\,d\theta.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de \csc^{2}(\theta) (a “antiderivada”) — aqui uso uma identidade sobre derivadas:
  • Recordando que \cot(\theta)=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Vou calcular sua derivada para identificar a primitiva:
\frac{d}{d\theta}\cot(\theta) = \frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right).
Usando a regra do quociente:
\frac{d}{d\theta}\cot(\theta) = \frac{(-\sin\theta)\sin\theta - \cos\theta\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = -\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} = -\frac{1}{\sin^{2}\theta} = -\csc^{2}(\theta).
  • Portanto, uma primitiva de \csc^{2}(\theta) é -\cot(\theta), ou seja
\int \csc^{2}(\theta)\,d\theta = -\cot(\theta) + C.

Passo 4

Computar a integral imprópria usando a primitiva:
\int_{a}^{\pi/4}\csc^{2}(\theta)\,d\theta = \big[-\cot(\theta)\big]_{a}^{\pi/4} = -\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \big(-\cot(a)\big) = -\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cot(a).
Agora passo ao limite a\to0^{+}:
\lim_{a\to0^{+}}\left(-\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cot(a)\right) = -\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \lim_{a\to0^{+}}\cot(a).

Passo 5

Avaliar as expressões numéricas e o limite:
  • \cot\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
  • Para \lim_{a\to0^{+}}\cot(a): como \cot(a)=\dfrac{\cos a}{\sin a}, quando a\to0^{+} temos \cos a\to1 e \sin a\to0^{+}, logo \cot(a)\to+\infty. (Intuitivamente, \cot(a) cresce sem limite quando a se aproxima de 0 pela direita.)
  • Portanto o limite é infinito:
-\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \lim_{a\to0^{+}}\cot(a) = -1 + (+\infty) = +\infty.

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria diverge para +\infty. Ou seja, não existe um valor finito para \int_{0}^{\pi/4}\csc^{2}(\theta)\,d\theta; a área sob a curva é infinita.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\csc^{2}(\theta)\,d\theta = +\infty

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