Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações e observações que o enunciado dá:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Há um ponto potencialmente problemático em
, porque e, portanto, não está definida em .
Passo 2
Por que não posso aplicar imediatamente o Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) de forma direta?
- O FTC exige que a função integranda seja contínua no intervalo fechado de integração. Aqui
não é contínua em (é singular ali). - Logo, a integral em
é uma integral imprópria. Devemos definí-la por um limite, integrando de um ponto positivo até e depois fazendo :
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
(a “antiderivada”) — aqui uso uma identidade sobre derivadas:
- Recordando que
. Vou calcular sua derivada para identificar a primitiva:
Usando a regra do quociente:
- Portanto, uma primitiva de
é , ou seja
Passo 4
Computar a integral imprópria usando a primitiva:
Agora passo ao limite
:
Passo 5
Avaliar as expressões numéricas e o limite:
-
. - Para
: como , quando temos e , logo . (Intuitivamente, cresce sem limite quando se aproxima de pela direita.) - Portanto o limite é infinito:
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria diverge para
. Ou seja, não existe um valor finito para
; a área sob a curva é infinita.