Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
Pergunta: calcular o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que vou usar para avaliar integrais definidas: se
é uma primitiva (antiderivada) de
em um intervalo que contém
e
, então
Ou seja, para calcular a integral definida, primeiro encontro uma função
tal que
, e depois avalio
nos limites e subtraio. Vou aplicar isso com
.
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
.
Regra útil (que vou justificar e usar): a derivada da função exponencial de base
é
Isso vem do fato de que
e da regra da cadeia aplicada a
.
Se
, então uma primitiva de
é obtida dividindo por
:
onde
é constante arbitrária. Aqui temos
, logo uma primitiva de
é
Passo 4
Verificação rápida (para fixar): calcule
para ter certeza que é
.
confirmando que
é de fato uma primitiva de
.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com
:
Calcular os termos:
e
. Portanto
Passo 6
Opcional: simplificar logaritmo usando
, então
. Assim uma forma alternativa é
Se quiser uma aproximação numérica rápida, usando
, tem-se
.
Força aí — com essa técnica, dá pra integrar qualquer exponencial de base positiva diferente de
.