Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} 4^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 4^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 4^{x}.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 1 (superior).
    Pergunta: calcular o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que vou usar para avaliar integrais definidas: se F é uma primitiva (antiderivada) de f em um intervalo que contém a e b, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Ou seja, para calcular a integral definida, primeiro encontro uma função F tal que F'(x)=f(x), e depois avalio F nos limites e subtraio. Vou aplicar isso com f(x)=4^{x}.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de f(x)=4^{x}.
Regra útil (que vou justificar e usar): a derivada da função exponencial de base a>0 é
\frac{d}{dx}\left(a^{x}\right)=a^{x}\ln a.
Isso vem do fato de que a^{x}=e^{x\ln a} e da regra da cadeia aplicada a e^{(\cdot)}.
Se \dfrac{d}{dx}\left(a^{x}\right)=a^{x}\ln a, então uma primitiva de a^{x} é obtida dividindo por \ln a:
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,
onde C é constante arbitrária. Aqui temos a=4, logo uma primitiva de 4^{x} é
F(x)=\frac{4^{x}}{\ln 4}.

Passo 4

Verificação rápida (para fixar): calcule F'(x) para ter certeza que é 4^{x}.
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{4^{x}}{\ln 4}\right)=\frac{1}{\ln 4}\cdot \frac{d}{dx}\left(4^{x}\right)=\frac{1}{\ln 4}\cdot 4^{x}\ln 4 = 4^{x},
confirmando que F é de fato uma primitiva de 4^{x}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=\dfrac{4^{x}}{\ln 4}:
\int_{0}^{1} 4^{x}\,dx = F(1)-F(0)=\frac{4^{1}}{\ln 4}-\frac{4^{0}}{\ln 4}.
Calcular os termos: 4^{1}=4 e 4^{0}=1. Portanto
\int_{0}^{1} 4^{x}\,dx = \frac{4-1}{\ln 4}=\frac{3}{\ln 4}.

Passo 6

Opcional: simplificar logaritmo usando 4=2^{2}, então \ln 4 = \ln(2^{2})=2\ln 2. Assim uma forma alternativa é
\int_{0}^{1} 4^{x}\,dx = \frac{3}{2\ln 2}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, usando \ln 2\approx0,6931, tem-se \dfrac{3}{2\ln 2}\approx \dfrac{3}{1,3862}\approx2,164.
Força aí — com essa técnica, dá pra integrar qualquer exponencial de base positiva diferente de e.

Resposta

\dfrac{3}{\ln 4} = \dfrac{3}{2\ln 2}

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