Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
\int \operatorname{arcsen}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arcsen}^{2} x\, dx.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função integranda é \operatorname{arcsen}^{2} x, ou seja o quadrado do arco-seno de x.
  • A variável de integração é x.
  • Naturalmente \operatorname{arcsen} x está definida para x\in[-1,1], então a primitiva será válida nesse intervalo (onde a raiz que aparecerá é não negativa).
  • Não há outros dados no enunciado (é uma integral indefinida; devemos acrescentar a constante de integração C).

Passo 2

Estratégia e substituição que simplifica o integrando (motivo didático).
  • A presença de \operatorname{arcsen} x sugere trocar de variável para tornar essa função uma variável linear. Faço a substituição
x=\sin t \quad\Longleftrightarrow\quad t=\operatorname{arcsen} x.
  • Diferenciando, obtenho
dx=\cos t\, dt.
  • Observação: como t=\operatorname{arcsen} x toma valores em [-{\pi\over2},{\pi\over2}], tem-se \cos t=\sqrt{1-x^{2}}\ge0, então a raiz será bem definida nesse contexto.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral.
  • Substituindo t=\operatorname{arcsen} x e dx=\cos t\,dt, a integral vira
\int \operatorname{arcsen}^{2} x\, dx = \int t^{2}\cos t\, dt.
Agora o problema é calcular \int t^{2}\cos t\,dt. Para isso usaremos a técnica de integração por partes. Lembra da fórmula:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de t, du é a derivada de u vezes dt e v é uma primitiva de dv. Vou explicar cada escolha.

Passo 4

Primeira integração por partes em \int t^{2}\cos t\,dt.
  • Escolho
u=t^{2},\qquad dv=\cos t\,dt.
  • Então
du=2t\,dt,\qquad v=\sin t
(pois \frac{d}{dt}\sin t=\cos t).
  • Aplicando a fórmula,
\int t^{2}\cos t\,dt = t^{2}\sin t - \int \sin t\cdot 2t\,dt.
  • Simplificando:
\int t^{2}\cos t\,dt = t^{2}\sin t - 2\int t\sin t\,dt.

Passo 5

Segunda integração por partes para \int t\sin t\,dt.
  • Calculo \int t\sin t\,dt usando integração por partes novamente. Escolho
u=t,\qquad dv=\sin t\,dt,
logo
du=dt,\qquad v=-\cos t
(pois \frac{d}{dt}(-\cos t)=\sin t).
  • Aplicando a fórmula:
\int t\sin t\,dt = u v - \int v\,du = -t\cos t - \int(-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt.
  • E \int \cos t\,dt=\sin t. Portanto
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \sin t.
  • Voltando ao passo anterior, como havia um fator 2,
2\int t\sin t\,dt = 2(-t\cos t + \sin t) = -2t\cos t + 2\sin t.

Passo 6

Juntando os resultados e voltando para a variável x.
  • Substituindo esse resultado em \int t^{2}\cos t\,dt:
\int t^{2}\cos t\,dt = t^{2}\sin t - \big(-2t\cos t + 2\sin t\big).
  • Simplificando:
\int t^{2}\cos t\,dt = t^{2}\sin t + 2t\cos t - 2\sin t + C.
  • Agora retorno para x usando t=\operatorname{arcsen} x, \sin t = x e \cos t=\sqrt{1-x^{2}}. Assim a primitiva fica
F(x)=x\operatorname{arcsen}^{2} x + 2\operatorname{arcsen} x\sqrt{1-x^{2}} - 2x + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivada da primitiva dá a integranda).
  • Para ficar seguro, calculo a derivada F'(x). Denotando t=\operatorname{arcsen} x e c=\sqrt{1-x^{2}}, escrevo F(x)=x t^{2} + 2 t c - 2x.
  • Uso dt/dx=1/c e dc/dx=-x/c. Então
\begin{aligned} F'(x) &= t^{2} + x\cdot 2t\frac{dt}{dx} + 2\frac{dt}{dx}\,c + 2t\frac{dc}{dx} - 2\\[4pt] &= t^{2} + x\cdot 2t\frac{1}{c} + 2\frac{1}{c}\,c + 2t\left(-\frac{x}{c}\right) - 2\\[4pt] &= t^{2} + \frac{2xt}{c} + 2 - \frac{2xt}{c} - 2\\[4pt] &= t^{2} = \operatorname{arcsen}^{2} x. \end{aligned}
  • Assim a derivada da primitiva é exatamente a integranda, confirmando o resultado.]

Resposta

x\operatorname{arcsen}^{2} x + 2\operatorname{arcsen} x\sqrt{1-x^{2}} - 2x + C

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