Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função integranda é
, ou seja o quadrado do arco-seno de . - A variável de integração é
. - Naturalmente
está definida para , então a primitiva será válida nesse intervalo (onde a raiz que aparecerá é não negativa). - Não há outros dados no enunciado (é uma integral indefinida; devemos acrescentar a constante de integração
).
Passo 2
Estratégia e substituição que simplifica o integrando (motivo didático).
- A presença de
sugere trocar de variável para tornar essa função uma variável linear. Faço a substituição
- Diferenciando, obtenho
- Observação: como
toma valores em , tem-se , então a raiz será bem definida nesse contexto.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral.
- Substituindo
e , a integral vira
Agora o problema é calcular
. Para isso usaremos a técnica de integração por partes. Lembra da fórmula:
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Vou explicar cada escolha.
Passo 4
Primeira integração por partes em
.
- Escolho
- Então
(pois
).
- Aplicando a fórmula,
- Simplificando:
Passo 5
Segunda integração por partes para
.
- Calculo
usando integração por partes novamente. Escolho
logo
(pois
).
- Aplicando a fórmula:
- E
. Portanto
- Voltando ao passo anterior, como havia um fator
,
Passo 6
Juntando os resultados e voltando para a variável
.
- Substituindo esse resultado em
:
- Simplificando:
- Agora retorno para
usando , e . Assim a primitiva fica
Passo 7
Verificação rápida (derivada da primitiva dá a integranda).
- Para ficar seguro, calculo a derivada
. Denotando e , escrevo . - Uso
e . Então
- Assim a derivada da primitiva é exatamente a integranda, confirmando o resultado.]