Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
\int \ln (2 x+1) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \ln(2x+1)\,dx.
  • A única informação dada é a função integranda \ln(2x+1). Não há limites de integração (é uma primitiva).

Passo 2

Vamos usar uma técnica que transforma uma integral “difícil” numa forma mais simples: a integração por partes. Antes de aplicar, uma explicação didática do que é essa técnica.
Fórmula (demonstração curta):
\text{Se }u=u(x)\text{ e }v=v(x)\text{ são diferenciáveis, então pela regra do produto}ãáã
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\int u\,dv+\int v\,du = uv,
ou rearranjando,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • \int u\,dv significa integrar o produto de uma função u(x) por um diferencial dv;
  • du é a derivada de u multiplicada por dx;
  • v é uma primitiva de dv.
Regra prática para escolher u e dv: normalmente escolhe-se u como uma função que simplifica ao derivar (por ex. logaritmos, arctan, polinômios), e dv como algo de que sabemos a primitiva facilmente (por ex. dx, exponenciais, sen/cos).

Passo 3

Escolha para este problema (motivação rápida): \ln(2x+1) fica mais simples quando derivada, então escolhemos
u=\ln(2x+1),\qquad dv=dx.
Agora calculamos du e v:
  • Diferenciando u:
du = \frac{d}{dx}\big(\ln(2x+1)\big)\,dx = \frac{2}{2x+1}\,dx,
pois \dfrac{d}{dx}\ln(2x+1)=\dfrac{1}{2x+1}\cdot 2.
  • Integrando dv:
v=\int dv=\int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int \ln(2x+1)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \ln(2x+1)\,dx = x\ln(2x+1) - \int x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx.
Vamos simplificar a integral restante:
\int x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx = \int \frac{2x}{2x+1}\,dx.
Para integrar \dfrac{2x}{2x+1} fazemos uma divisão algébrica simples:
\frac{2x}{2x+1} = \frac{2x+1-1}{2x+1} = 1 - \frac{1}{2x+1}.
Portanto
\int \frac{2x}{2x+1}\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{2x+1}\right)dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int \frac{1}{2x+1}\,dx: usar a substituição simples t=2x+1 ou reconhecer que a primitiva é \tfrac{1}{2}\ln(2x+1), porque \dfrac{d}{dx}\ln(2x+1)=\dfrac{2}{2x+1}. Logo
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(2x+1).
Assim
\int \frac{2x}{2x+1}\,dx = x - \frac{1}{2}\ln(2x+1).

Passo 6

Voltando para a expressão da Passo 4:
\int \ln(2x+1)\,dx = x\ln(2x+1) - \Big(x - \tfrac{1}{2}\ln(2x+1)\Big) + C.
Distribuindo o sinal e agrupando termos:
\int \ln(2x+1)\,dx = x\ln(2x+1) - x + \tfrac{1}{2}\ln(2x+1) + C.
Agrupando os termos com \ln(2x+1):
\int \ln(2x+1)\,dx = \Big(x+\tfrac{1}{2}\Big)\ln(2x+1) - x + C.

Passo 7

Checagem alternativa rápida (opcional, para ganhar confiança): fazer t=2x+1\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\tfrac{dt}{2}. A integral vira
\int \ln t\cdot \frac{dt}{2}=\tfrac{1}{2}\int \ln t\,dt = \tfrac{1}{2}\big(t\ln t - t\big)+C,
que ao voltar a x
\tfrac{1}{2}\big((2x+1)\ln(2x+1)-(2x+1)\big)+C = \Big(x+\tfrac{1}{2}\Big)\ln(2x+1)-x -\tfrac{1}{2}+C.
O termo -\tfrac{1}{2} pode ser absorvido na constante de integração, concordando com o resultado acima.

Resposta

\displaystyle \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ln(2x+1)-x+C

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