Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede para calcular a integral indefinida
. - A única informação dada é a função integranda
. Não há limites de integração (é uma primitiva).
Passo 2
Vamos usar uma técnica que transforma uma integral “difícil” numa forma mais simples: a integração por partes. Antes de aplicar, uma explicação didática do que é essa técnica.
Fórmula (demonstração curta):
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
ou rearranjando,
Aqui:
-
significa integrar o produto de uma função por um diferencial ; -
é a derivada de multiplicada por ; -
é uma primitiva de .
Regra prática para escolher
e
: normalmente escolhe-se
como uma função que simplifica ao derivar (por ex. logaritmos, arctan, polinômios), e
como algo de que sabemos a primitiva facilmente (por ex.
, exponenciais, sen/cos).
Passo 3
Escolha para este problema (motivação rápida):
fica mais simples quando derivada, então escolhemos
Agora calculamos
e
:
- Diferenciando
:
pois
.
- Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Vamos simplificar a integral restante:
Para integrar
fazemos uma divisão algébrica simples:
Portanto
Passo 5
Integramos termo a termo:
-
. -
: usar a substituição simples ou reconhecer que a primitiva é , porque . Logo
Assim
Passo 6
Voltando para a expressão da Passo 4:
Distribuindo o sinal e agrupando termos:
Agrupando os termos com
:
Passo 7
Checagem alternativa rápida (opcional, para ganhar confiança): fazer
. A integral vira
que ao voltar a
dá
O termo
pode ser absorvido na constante de integração, concordando com o resultado acima.